Отношения между сложными суждениями

При анализе структуры сложных суждений принимаются во внимание логические связи между простыми суждениями, выступающими в качестве их составляющих. Тем самым сравнимость или несравнимость сложных суждений зависит от наличия общих составляющих. Если два сложных суждения обозначить символами Р и Q, то сравнимы они будут лишь в том случае, если имеется хотя бы одно простое суждение п, которое содержится как в Р, так и в Q. Например, Р содержит суждения, обозначенные символами р, q, n; Q содержит суждения s, t, n. В этом случае Р и Q рассматриваются как сравнимые.

Два сложных суждения М и N считаются несравнимыми, если они не имеют хотя бы одной общей составляющей. Например, М содержит m, s, n, a N содержит р, q, t. Такие сложные суждения рассматриваются как несравнимые.

Среди сравнимых сложных высказываний различают совместимые и несовместимые.

Совместимость сложных суждений определяется наличием хотя бы одного случая их истинности при одинаковых значениях (истинности или ложности) их составляющих. Так, условия истинности двух сложных суждений Р и Q, где Р представляет собой конъюнкцию двух простых — m & n, a Q — дизъюнкцию тех же суждений mV n, показаны в таблице (табл. 9).

Таблица 9

Из таблицы видно, что при одних и тех же значениях составляющих (т, п) в 1-й строке Р и Q одновременно принимают значение «истинно». Тем самым Р и Q являются совместимыми высказываниями.

Совместимость сложных суждений также бывает трех видов: эквивалентность, подчинение, частичная совместимость.

Эквивалентными являются такие сложные суждения, которые принимают одинаковые значения при одних и тех же значениях составляющих.

Таблица 10

В таблице сложные суждения Р и Q принимают одинаковые значения (табл. 10).

Первая строка в схеме показывает, что Р и Q одновременно принимают значение и, четвертая — значение л. Зачеркнутые строки (2-я и 3-я) показывают те значения, какие не могут принимать эквивалентные высказывания. Символически эквивалентность обозначают знаком ≡ (например, Р ≡ Q).

Отношение эквивалентности позволяет выражать одни сложные высказывания через другие — конъюнктивные через дизъюнктивные или импликативные, и наоборот. Такие эквивалентности строятся с помощью отрицания. Приведем наиболее известные в логике отношения эквивалентности.

Отношение подчинения между сложными высказываниями имеет место тогда, когда при истинности подчиняющего Р подчиненное Q всегда будет истинным. В таблице значения Р и Q будут следующими (табл. 11).

Таблица 11

Во всех случаях истинности Р (1-я строка) Q также является истинным. Случаи ложности Р (3-я и 4-я строки) в расчет не принимаются, поскольку отношения между суждениями устанавливаются лишь с учетом их истинностной характеристики.

Поскольку отношение подчинения позволяет по истинности подчиняющего суждения определять истинность подчиненного, тем самым оно составляет основу логических переходов от одних суждений к другим. Такие логические переходы от истинности подчиняющего к истинности подчиненного суждения называют логическим следованием и обозначают знаком ├. Например: P├ Q, которое читается: из Р логически следует Q.

Истинностные значения суждений, находящихся в отношении подчинения, как и логическое следование, адекватно выражаются знаком импликации: Р → Q.

Отношение частичной совместимости проявляется в том, что два сложных высказывания наряду с истинностью принимают и несовпадающие значения — одно истинно, другое ложно, и наоборот, — но не могут быть вместе ложными.

Таблица 13

На таблице 13 1-я строка показывает их одновременную истинность, 2-я и 3-я — несовпадающие их значения, 4-я строка зачеркнута, поскольку частично совместимые Р и Q не могут быть вместе ложными.

Несовместимость между сложными высказываниями проявляется в том, что они одновременно не могут принимать значение истинности. Существует два вида логической несовместимости: противоположность и противоречивость.

Противоположными являются высказывания, которые не могут быть вместе истинными, но могут быть вместе ложными. На таблице видно, что одновременная истинность Ри Q исключается — 1-я строка зачеркнута. Оба высказывания могут принимать несовпадающие значения мил (2-я и 3-я строки). Оба высказывания могут быть одновременно ложными (4-я строка). Это значит, что при ложности одного из противоположных высказываний мы не можем установить значения другого, оно остается неопределенным и в зависимости от конкретного содержания суждений может быть как истинным, так и ложным (табл. 14).

Таблица 14

Противоречие между двумя высказываниями проявляется в том, что вместе они не могут быть ни истинными, ни ложными. При истинности одного другое является ложным; при ложности первого второе будет истинным.

Таблица 15

Вычеркнутые на табл. 15 1-я и 4-я строки показывают, что Р и Qмогут принимать лишь альтернативные значения.

Одним из способов получения для каждого сложного суждения противоречащего ему высказывания является отрицание исходного суждения. Так, для Рпротиворечием будет Р; для конъюнкции P & Qпротиворечием будет ее отрицание — (P & Q).

Отчетливое представление об истинностных отношениях между высказываниями позволяет логически грамотно анализировать различные суждения по одному и тому же вопросу в дискуссиях и полемике. Встречаются ситуации, когда логический анализ различных по структуре суждений приводит к тому, что они оказываются совместимыми. Так нередко случается с частными суждениями — утвердительными и отрицательными (I и О). Пропонент утверждает, что «Некоторые S есть P»; оппонент упорно настаивает, что «Некоторые S не есть P». На поверку же выходит, что эти суждения не исключают друг друга, а являются частично совместимыми и оба могут оказаться истинными.

_______________________________________________________________

Вопросы

1. Какие суждения называются сложными?

2. Какие суждения называются соединительными, разделительными, условными? Каковы условия их истинности?

3. Как производится отрицание сложных суждений?

4. Какие отношения существуют между сложными суждениями?