Каноническое уравнение эллипса

Определение 4. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек и этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная (И, П, стр. 144).

Рисунок 1- Построение эллипса Рисунок 2 – Каноническая система координат

Практическое правило построения эллипса представлено на рисунке 1 (https://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_colier/6312/КОНИЧЕСКИЕ) практическое правило построения данного геометрического множества. Нетрудно понять, что если фокусы совпадают, то эллипс превращается в окружность.

Определение 5. Середина отрезка , соединяющего фокусы, называется центром эллипса. (А, стр. 72).

Определение 6. Вся прямая , называется его фокальной или первой осью. (А, стр. 72).

Определение 7. Прямая, проходящая через центр эллипса перпендикулярно к фокальной оси, называется второй осью эллипса. (А, стр. 72).

Определение 8. Расстояние между фокусами и называется фокусным расстоянием (А, стр. 72).

Для вывода канонического уравнения эллипса декартову прямоугольную систему координат Оху выбирают следующим образом: начало координат О размещают в центре эллипса, т.е. на середине отрезка , в качестве оси Ох выбирают фокальнуюось (рисунок 2). Если фокусы и совпадают, то за ось Ох можно взять любую ось, проходящую через точку О. Система координат такого вида называется канонической системой (для данного эллипса) (А, стр. 73).

Пусть длина отрезка равна , (случай , соответствует совпадению фокусов), тогда, в выбранной системе координат, координаты точек и - и , соответственно (рисунок 3). Фокус в этом случае условно называют левым фокусом, а фокус - правым фокусом (А, стр. 73)

Рисунок 3 – Координаты фокусов Рисунок 4 – Отрезки расстояний

Пустьсумма расстояний от точек эллипса (исследуемого геометрического множества точек) до фокусов и равно , очевидно, что (это следует из свойств треугольников), случай приводит к ситуации, когда точка располагается на отрезке и эллипс вырождается в отрезок. Следовательно, . Пусть - расстояние от точек эллипса до фокуса , - расстояние до фокуса (рисунок 4).

Пусть - произвольная точка плоскости. Точка M принадлежит данному эллипсу (данному геометрическому месту точек L) тогда и только тогда, когда

. (4)

Так как

, (5)

; (6)

то, подставляя (5) и (6) в уравнение (4), получаем, уравнение (7):

. (7)

Перенося втрое слагаемое левой части уравнения в правую часть, получаем уравнение (8):

, (8)

возводя в квадрат обе части уравнения (8), и проводя несложные преобразования, получаем уравнение (9)

,

,

,

,

,

. (9)

Снова возводя в квадрат обе части уравнения (9), и проводя необходимые преобразования, получаем уравнением (10):

,

,

,

,

,

. (10)

Как мы уже отметили ранее, , поэтому и, следовательно, можно ввести обозначение (11):

, (11)

уравнение (10) можно представить в виде (12):

. (12)

Разделив обе части уравнения (12) на , получаем уравнение (13)

. (13)

Так как уравнение (13) является следствием уравнения (7), то координаты любой точки эллипса будут удовлетворять уравнению (13). Однако в процессе вывода мы использовали метод последовательного возведения в квадрат, следовательно, могли появиться «лишние корни» (И., П., стр. 145; А, стр. 73-74). Поэтому необходимо показать, что любая точка , координаты которой удовлетворяют уравнению (13) принадлежит рассматриваемому эллипсу, т.е. выполняется равенство (4).

Пусть координаты точки удовлетворяют уравнению (13). Тогда

; .

Опираясь на формулы (5) и (6), получаем, что в этом случае:

.

Из уравнения (13) следует, что , следовательно, . По постановке задачи: , следовательно, . Это означает, что

, , (14)

и .

Определение 9. Уравнение (13) называется каноническим уравнением эллипса (И.П., стр. 14, А, стр. 73).

Определение 10. Число называется эксцентриситетом эллипса (А, стр. 72).

В литературе встречаются следующие обозначения для эксцентриситета: (А, стр. 72) или (Г, стр. 47). Выберем второй вариант обозначения:

. (15)

Как уже было отмечено выше

. (16)

Эксцентриситет равен нулю только в том случае, когда фокусы совпадают. Опираясь на полученные выше результаты, нетрудно получить (А, стр. 74), что

; (17)

(18)

Используя уравнение (13) легко увидеть, что эллипс обладает следующими свойствами (А, стр. 74 – 75):

1) обе оси эллипса являются его осями симметрии;

2) центр эллипса является его центром симметрии;

3) весь эллипс лежит в прямоугольнике, ограниченном прямыми , который называется основным прямоугольником для данного эллипса (рисунок 5, https://topreferat.znate.ru/docs/index-21429.html);

4) пересекается с осями координат в точках , которые называются вершинами эллипса (рисунок 5).

Рисунок 5 – Основной прямоугольник

Определение 11. Отрезки и , соединяющие противоположные вершины эллипса, а также их длины и , называются большой и малой осями эллипса (П, стр. 77). Величины a и b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса соответственно (И, П., стр. 146).

Название определяется тем, что . Нетрудно заметить, что при , уравнение (13) задает окружность с центром в начале координат радиуса .