Вопрос 12 Сигналы с угловой модуляцией

Для простого гармонического колебания a (t) = A 0 cos(w₀ t +q₀) = A 0 cosY(t)

набег фазы за какой-либо конечный промежуток времени от t=t1 до t=t2, равен

Y(t₂) -Y(t₁)= (w₀ t₂ +q₀)-(w₀ t₁ +q₀)=w₀ (t₂ - t₁)

При постоянной угловой частоте набег фазы за какой либо промежуток времени пропорционален длительности этого промежутка.

Если известно, что набег фазы за время t2-t1, равен Y(t₂) -Y(t₁), то угловую частоту можно определить как отношение

w₀= [Y(t₂) -Y(t₁)]/ (t₂ - t₁)

если, конечно, имеется уверенность, что в течение рассматриваемого промежутка времени частота сохраняла постоянное значение.

Из w₀= [Y(t₂) -Y(t₁)]/ (t₂ - t₁) видно, что угловая частота есть не что иное, как скорость изме-

нения фазы колебания. Переходя к сложному колебанию, частота которого может изменяться во времени, равенства полученные соотношения необходимо заменить интегральным и дифференциальным:

t₂

[Y(t₂) -Y(t₁)= ò w(t)dt

t₁

w(t)=d Y(t)/dt

В этих выражениях w(t) = 2p f (t) – мгновенная угловая частота колебания; f (t) – мгновенная частота сигнала.

Полную фазу высокочастотного колебания в момент t можно определить как

t

w(t)= ò w(t)dt+ q₀

где первое слагаемое в правой части определяет набег фазы за время от начала

отсчета до рассматриваемого момента t; q₀— начальная фаза колебания (в момент t=0).

При таком подходе фазу Y(t)= (w₀ t +q(t), следует заменить на Y(t)= w₀ t +q(t)+ q₀, тогда общее выражение для высокочастотного колебания, амплитуда которого постоянна, т. е. A(t)=A0, а аргумент Y(t) модулирован, можно представить в виде:

A(t)=A₀cos[w₀ t +q(t)+ q₀]

Рассмотрим пример простейшего гармонического ЧМ колебания, когда мгновенная частота определяется выражением ω (t)=ω ₀₊ω _дcosWt

Где ω _д=2pf_д называется девиацией частоты и представляет собой амплитуду частотного отклонения относительно частоты несущего колебания. Через ω ₀ и W, как и при AM, обозначены несущая и модулирующая частоты.

Составим выражение для мгновенного значения колебания (тока или напряжения), частота которого изменяется по закону ω (t)=ω ₀₊ω _дcosWt, а амплитуда постоянна.

Подставляя в выражение

t

w(t)= ò w(t)dt+ q₀

ω (t) из уравнения ω (t)=ω ₀₊ω _дcosWt получаем

t

Y(t)= ò (ω ₀₊ω _дcosWt) dt+ q₀

0

Выполнив интегрирование, найдем:

Y(t)= (ω ₀t+(ω _д/W)sinWt + q₀

Таким образом,

a(t)=A₀cos[ω ₀t+(ω _д/W)sinWt + q₀]

Фаза колебания a(t) наряду с линейно-возрастающим слагаемым ω ₀(t) содержит еще периодическое слагаемое (ω _д/W) sinWt. Это позволяет рассматривать a(t) как колебание, модулированное по фазе. Закон этой модуляции является интегральным по отношению к закону изменения частоты. Именно модуляция частоты по закону ω _дcosWt приводит к модуляции фазы по закону (ω _д/W)sinWt. Амплитуда изменения фазы равна:

qmax = ω _д/W=m и называется индексом угловой модуляции.

Заметим, что индекс модуляции совершенно не зависит от частоты ω ₀, а определяется исключительно девиацией ω _д и модулирующей частотой W. При гармоническом модулирующем сигнале различие между ЧМ и ФМ можно выявить, только изменяя частоту модуляции. При ЧМ девиация ω _a пропорциональна амплитуде модулирующего напряжения и не зависит от частоты модуляции W. При ФМ величина q₀max пропорциональна амплитуде модулирующего напряжения и не зависит от частоты модуляции W.Эти положения поясняются рис.1 (рис. 2.8, стр.89) на котором показаны частотные характеристики величин A w и max q при частотной и фазовой модуляциях. В обоих случаях предполагается, что на вход модулятора подается модулирующее напряжение с неизменной амплитудой U, a частота W изменяется от Wmin до W max.

При ЧМ ω _д, зависящая, как указывалось выше, только от амплитуды U, будет, постоянной величиной, а индекс модуляции m= ω _д/W=ω max с увеличением частоты будет убывать (рис. 2.8а). При ФМ m не зависит от W, а ω _д =qmaxW=mW изменяется пропорционально частоте модуляции.

Кроме структуры колебания (при модуляции сложным сигналом) частотная и фазовая модуляции различаются и способом реализации. При ЧМ обычно применяется прямое воздействие на частоту колебаний генератора. При ФМ генератор дает стабильную частоту, а фаза колебания модулируется в одном из последующих устройствах.