Функциональные ряды. Область сходимости. Понятия абсолютной и равномерной сходимости функционального ряда.

Определение. Пусть – бесконечная последовательность функций, определённых на некотором множестве . Выражение вида:

(3.1)

называется функциональным рядом и обозначается сокращённо: .

Пусть число , тогда ряд:

(3.2)

является числовым рядом.

Определение. Если числовой ряд (3.2) сходится, то ряд (3.1) называется сходящимся в точке х0, а число называется точкой сходимости функционального ряда (3.1).

Определение. Множество всех точек сходимости функционального ряда (3.1) называется его областью сходимости.

Последнее определение можно сформулировать иначе: областью сходимости функционального ряда называется совокупность значений , при которых ряд (3.1) сходится. Как правило, область сходимости не совпадает с областью определения функционального ряда, а является её частью, т.е. .

Пример 1. Найти область определения и область сходимости функционального ряда:

.

Решение. Так как ряд составлен из функций вида , то их областью определения является область определения основной элементарной функции , т.е. . Кроме того, данный ряд является суммой членов геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем . Такой ряд сходится, если , т.е. при

, .

Поэтому областью сходимости является интервал .

Таким образом, и . Очевидно, что .

Определение. Функция называется суммой ряда (3.1) в некоторой области , если для любого существует такой номер , что при всех справедливо неравенство:

. (3.3)

В общем случае зависит от , т.е. при заданном натуральные числа различны для различных значений . Если же существует один номер , такой, что при неравенство (3.3) справедливо для всех , то ряд (3.1) называется равномерно сходящимся в D.

В случае равномерной сходимости функционального ряда его n-я частичная сумма является приближением суммы ряда с одной и той же точностью для всех .

Определение. Функциональный ряд (3.1) называется мажорируемым в некоторой области , если существует сходящийся числовой ряд:

, (3.4)

такой, что для всех справедливы неравенства: .

Ряд (3.4) называется мажорантным (мажорирующим) рядом.

Мажорируемый ряд является рядом равномерно сходящимся.

Например, функциональный ряд:

мажорируется рядом , так как . Данный функциональный ряд равномерно сходится на всей оси , поскольку он мажорируется при любом .

Равномерно сходящиеся ряды обладают некоторыми общими свойствами:

1) если члены равномерно сходящегося ряда непрерывны на некотором отрезке, то его сумма также непрерывна на этом отрезке;

2) если члены ряда (3.1) непрерывны на отрезке и ряд равномерно сходится на этом отрезке, то в случае, когда ,

,

где – сумма ряда (3.1);

3) если ряд (3.1), составленный из функций, имеющих непрерывные производные на отрезке , сходится на этом отрезке к сумме и ряд

равномерно сходится на том же отрезке, то .

Последние два свойства определяют условия, при которых функциональные ряды можно почленно интегрировать и дифференцировать.