Ряды Фурье для четных и нечетных функций.

Функция y=f(x) называется четной, если выполнено условие:

График четной функции симметричен относительно оси Oy. Например, функция - четная.

Функция y=f(x) называется нечетной, если выполнено условие:

График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Например, функция - нечетная.

Теорема. Если функция y=f(x) четная с периодом T=2p, то

(1)

Доказательство

Функция y=f(x)cos nx четная. Введем для первого интеграла замену:

Аналогично, функция y=f(x)sin nx нечетная. С помощью той же замены получим:

Можно сформулировать это правило так: четная периодическая функция разлагается в ряд по четным гармоническим функциям, нечетная функция по нечетным.

Теорема. Если функция y=f(x) нечетная с периодом T=2p, то

(2)

Доказательство проводится аналогично. Разобрать самостоятельно. Можно сформулировать это правило так: четная периодическая функция разлагается в ряд по четным гармоническим функциям, нечетная функция по нечетным.

Пример. Найти разложение в ряд Фурье функции 2p- периодической функции, которая равна y=x на (-p, p). Изобразим график функции

Так как функция нечетная, то an=0. Коэффициенты

Применим для вычисления формулу интегрирования по частям

Получаем

Разложение имеет вид