Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Их решение в случае комплексных корней характеристического уравнения.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида где p, q − постоянные коэффициенты. Для каждого такого дифференциального уравнения можно записать так называемое характеристическое уравнение: Обшее решение однородного дифференциального уравнения зависит от корней характеристического уравнения, которое в данном случае будет являться квадратным уравнением. Возможны следующие случаи: Дискриминант характеристического квадратного уравнения положителен: D > 0. Тогда корни характеристического уравнения k1 и k2 действительны и различны. В этом случае общее решение описывается функцией где C1 и C2 − произвольные действительные числа. Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю: D = 0. Тогда корни действительны и равны. В этом случае говорят, что существует один корень k1 второго порядка. Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид: Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен: D < 0. Такое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни k1 = α + β i, k1 = α − β i. Общее решение записывается в виде Рассмотренные три случая удобно представить в виде таблицы:

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение y'' − 6y' + 5y = 0. Решение. Запишем сначала соответствующее характеристическое уравнение: Корни данного уравнения равны k1 = 1, k2 = 5. Поскольку корни действительны и различны, общее решение будет иметь вид: где C1 и C2 − произвольные постоянные.

Пример 2

Найти общее решение дифференциального уравнения y'' − 6y' + 9y = 0. Решение. Вычислим корни характеристического уравнения: Как видно, характеристическое уравнение имеет один корень второго порядка: k1 = 3. Поэтому общее решение дифференциального уравнения определяется формулой где C1, C2 − произвольные действительные числа.

Пример 3

Решить дифференциальное уравнение y'' − 4y' + 5y = 0. Решение. Сначала запишем соответствующее характеристическое уравнение и определим его корни: Таким образом, характеристическое уравнение имеет пару комплексно-сопряженных корней: k1 = 2 + i, k2 = 2 − i. В этом случае общее решение выражается формулой где C1, C2 − произвольные постоянные.

Пример 4

Решить уравнение y'' + 25y = 0. Решение. Характеристическое уравнение имеет вид: Корни этого уравнения являются чисто мнимыми: Тогда ответ записывается в следующем виде: где C1, C2 − постоянные интегрирования.