Интеграл ФКП. Теорема Коши.

Теорема Коши позволяет также установить связь между значениями аналитической функции во внутренних точках области ее определения и граничными значениями. При этом имеет место следующее соотношение (рис.19):
	(52)
Рис.19

Формула (52) называется интегральной формулой Коши или интегралом Коши. Если в качестве контура в (52) выбрать окружность , то, заменяя и учитывая, что - дифференциал длины дуги , интеграл Коши можно представить в виде формулы среднего значения:

(53)

Формула Коши может быть расширена для производных аналитической функции , и так как входит в интеграл (52) как параметр, то на основе свойств интегралов, зависящих от параметра, после -кратного дифференцирования, можно получить

(54)

Помимо самостоятельного значения интегральной формулы Коши, (52), (54) фактически дают очень удобный способ вычисления контурных интегралов, которые, как видно, будут выражаться через значение " остатка" подынтегральной функции в точке, где эта функция имеет особенность .

Пример 3-9. Вычислить интеграл от функции по контуру (рис.20).

Решение. Точка , в которой функция имеет особенность, в отличие от примера 4-1, находится внутри окружности . Представим интеграл в форме (52):