Сызықтық регрессия

Регрессия функциясының, яғ ни - тің - ке (немесе - тің - ке) тә уелділігінің моделінің тү рін таң дап алғ аннан кейін, мә селен, сызық тық моделін, моделдің коэффициенттерінің нақ ты мә ндерін анық тау қ ажет.

жә не ә ртү рлі мә ндері бойынша тү ріндегі шексіз кө п тә уелділікті алуғ а болады, яғ ни координата жазық тығ ындағ ы шексіз кө п тү зулер тұ рғ ызуғ а болады, ал бізге бақ ылап отырғ ан мә ндерге ө те жақ ын, ең тиімді тү рде сә йкес келетін тә уелділік қ ажет. Яғ ни, ең жақ сы коэффициенттерді таң дау керек.

Ең кіші квадраттар ә дісі (ЕКӘ)

сызық тық функциясын бақ ылау нә тижесінде алынғ ан мә ндерге қ атысты іздейміз. Бақ ылау мә ндеріне ө те жақ ын сә йкес келетін функцияны табу ү шін ең кіші квадраттар ә дісін қ олданамыз.

Мынадай белгілеулер енгіземіз: - тең деуі бойынша есептелінген мә ндер,

- бақ ылау нә тижесінде ө лшелініп алынғ ан мә ндер,

- ө лшелініп алынғ ан мә ндер мен тең деу бойынша есептелінген мә ндердің айырмасы, .

Ең кіші квадраттар ә дісінде ө лшелініп алынғ ан мә ндері мен тең деу бойынша есептелінген мә ндерінің айырмасы ең аз (минимальды) болуы талап етіледі. Яғ ни, а жә не коэффициенттерін бақ ылап отырғ ан мә ндердің тү зу сызық ты регрессияның мә ндерінен ауытқ уының квадраттарының қ осындысы ө те аз болатындай етіп іздейміз:

.

Бұ л - фукнкциясы а жә не аргументтеріне тә уелді екі айнымалының функциясы болып табылады. - функциясын туындының кө мегі арқ ылы экстремумғ а зерттей отырып, бұ л функция минимальды мә нді, егер а жә не коэффициенттері мынадай жү йенің шешімі болғ ан жағ дайда қ абылдайтынын дә лелдеуге болады.

(*)

Бұ л жү йе ең кіші квадраттар ә дісінің қ алыпты тең деулер жү йесі деп аталады.

Егер қ алыпты тең деулердің екі жағ ын да n – ге бө лсек, онда

аламыз.

, (**)

екенін ескерсек,

аламыз. Бұ дан , а- ның мә нін бірінші тең деуге қ ою арқ ылы

аламыз. - регрессия коэффициенті, а- регрессия тең деуінің бос мү шесі.

Алынғ ан тү зу теориялық регрессия сызығ ының бағ асы болып табылады.

.

Сонымен, сызық тық регрессияның тең деуі.

Регрессия тура жә не кері болуы мү мкін.

Егер бірінші параметрдің мә ндері ө скенде, екінші параметрдің мә ндері ө сетін болса, онда ол тура регрессия, ал бір параметрдің мә ндері ө скенде, екінші параметрдің мә ндері кемитін болса, онда ол – кері регрессияны білдіреді.

1-мысал. n елді мекендерінде тә улігіне тұ щы суды санитарлы-тұ рмыстық мұ қ таждық қ а пайдаланудың Х (л/адам) берілген дең гейіне жалпы ауру-сырқ аулық тың (%) дең гейінің кө птеген мә ні сә йкес келеді. (% - ке шақ қ анда). Бұ л жағ дайда Х-тің ө суіне - ң кемуісә йкес келетіні байқ алады. Бұ л – кері, теріс корреляциялық байланыс. (1 сурет).

1-сурет. Х факторы мен параметрінің арасындағ ы кері корреляциялық байланысты бақ ылау ө рісі.

2-сурет.Х факторы мен параметрінің арасындағ ы тура корреляциялық байланысты бақ ылау ө рісі.