![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Cұрақ . Бірінші ретті ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРСтр 1 из 4Следующая ⇒
Табиғ аттағ ы қ ұ былыстар, қ оғ амдағ ы қ атынастар, дербес жағ дайда, экономикалық шамалар да уақ ытқ а немесе бір-біріне қ атысты ө згеріп отырады. Ə р қ ұ былыстың ө зіне тə н ө згеру жылдамдығ ы, ө згеріс заң дылығ ы бар. Қ ұ былыс y = f (x) қ атынасымен берілсе, ө згеріс жылдамдығ ы оның туындысымен сипатталады. Ал қ ұ былыс пен оның ө згеру жылдамдығ ының байланысы дифференциалдық тең деулер арқ ылы сипатталады. Анық тама. Дифференциалдық тең деу депхтə уелсіз айнымалы, одантə уелді y = f (x) функцияжə неоның тү рліретті туындыларынө зарабайланыстыратынтең деудіайтамыз:
F (x, y, y,..., y (n) ) = 0. (1)
Дифференциалдық тең деу ретi деп тең деудегі туындының жоғ ары ретін айтамыз. Мысалы, y - y = 0, xy + y = 0, x (y)2 + y = e - x – бірінші
ретті дифференциалдық тең деулер; y + xy + y = e - x – екінші
ретті дифференциалдық тең деу; y = 5 x 4 + 7 – ү шінші ретті
дифференциалдық тең деу. Дифференциалдық тең деу шешімі деп оны тепе-тең дікке айналдыратын y = y (x) функцияны айтамыз. Дифференциалдық тең деудің шешімі болатын функцияның графигі интегралдық қ исық деп аталады. Дифференциалдық тең деу шешімінде саны тең деу ретіндей болатын Ci (i -тең деу реті) еркін тұ рақ тылар болса,
y = f (x, C 1, C 2,..., Cn ),
шешімнен еркін тұ рақ тылардың нақ тылы бір мə ніндегі алынғ ан шешім дербес шешім деп аталады.
Мысалы, xy + y = 0 тең деудің жалпы шешімі y =
![]() болады, мұ ндағ ы C қ андай да бір тұ рақ ты сан. Шынында да, осы функция тең деуді тепе-тең дікке айналдырады,
![]() ![]() ![]() x
Дифференциалдық тең деудің шешімі болатын интегралдық қ исық тар 1- суретте кескінделген.
Сурет Дифференциалдық тең деудің берілген бастапқ ы шартты қ анағ аттандыратын дербес шешімін табуды Коши есебі дейді. Коши есебінде бастапқ ы шарт: y (x 0 ) = y 0 , y (x 0) = y 1 , y (x 0) = y 2,... тү рінде беріледі жə не оның саны дифференциалдық тең деу ретімен бірдей болады. Қ арастырғ ан мысалдағ ы дифференциалдық тең деуге бастапқ ы шарт қ ойсақ, Коши есебін аламыз: xy + y = 0, y (2) = 2, 5.
Дифференциалдық тең деудің жалпы шешімі y =. Осы шешімдегі
![]()
x пен у орнына бастапқ ы шарттарды қ оямыз, 2, 5 = да, еркін тұ рақ тыны табамыз, C = 5 мə нді табамыз. Табылғ ан мə нді жалпы
шешімге қ ойып, y = дифференциалдық тең деудің берілген бастапқ ы шартты қ анағ аттандыратын дербес шешімін немесе Коши есебінің шешімін табамыз. Графиктік тү рде дербес шешімді табу дегеніміз жалпы интегралдық қ исық тардың арасынан M (2; 2, 5) нү ктені басып ө тетін қ исық ты табу деген сө з (1- сурет).
Дифференциалдық тең деулер қ алай пайда болатындығ ына мысалдар қ арастырайық. 1. Бастапқ ы температурасы q 0 дене температурасы 00 (q 0. Уақ ытқ а (t) байланысты дене
температурасының ө згеріс заң дылығ ын анық тау керек. Шешуі. Дененің t мезеттегі температурасы q (t) болсын. Осы температура D t уақ ытта D q = q (t + D t) - q (t) шамағ а ө згереді. Орта температурасы дене температурасынан тө мен
lim = - q болады. Физикадан дене температурасының ө згеріс D t ®0
4
жылдамдығ ы дененің сол мезеттегі температурасына пропорционал екендігі белгілі, яғ ни:
q = - k × q, 2) мұ ндағ ы, k > 0 пропорционалдық коэффициенті. (2) тең деу уақ ытқ а байланысты дене температурасының ө згеріс заң дылығ ын береді. Бұ л тең деу t тə уелсіз айнымалы, одан
тə уелді q (t) функциясы жə не оның q (t) туындысын байланыстырып тұ рғ ан дифференциалдық тең деу. Тең деудің жалпы шешімі q = Ce - kt , мұ ндағ ы, С еркін тұ рақ ты (Шешім қ алай табылғ андығ ы кейінірек айтылады). Есепте t = 0 уақ ыт мезетіндегі температура q 0. Осы шартты жалпы шешімге қ ойып,, еркін тұ рақ тының
C = q 0 екенін кө реміз. Осы табылғ ан мə нін жалпы шешімдегі орнына апарып қ ойсақ, (2) дифференциалдық тең деудің дербес шешімін аламыз:
q = q 0 e - kt. 2. Статистикалық мə ліметтердің қ орытындысы бойынша қ андай да бір уақ ыт аралығ ындағ ы ө мірге келген балалар мен ө мірден ө ткен адамдар саны сол мезеттегі халық тың санына тура пропорционал екен. Халық санының ө згеру заң дылығ ын сипаттау керек. Шешуі. t мезеттегі халық саны y = y (t) болсын. D t уақ ытта ө мірге k 1 y D t бала дү ниеге келеді де, k 2 y D t адам дү ниеден ө теді, мұ ндағ ы, k 1 мен k 2 сə йкес пропорционалдық коэффициенттер. Сонда D t уақ ытта халық тың D y ө сімі ө мірге келген балалар мен ө мірден ө ткен адамдар санының айырымына тең, яғ ни:
D y = k 1 y D t - k 2 y D t. k 1 - k 2 = k деп белгілеп, ө рнекті ық шамдасақ,
= ky.
D t ® 0 жағ дайда шекке кө шсек,
y = ky
дифференциалдық тең деу аламыз. (3) тең деу уақ ытқ а байланысты халық санының ө згеру заң дылығ ын сипаттайды. Бұ л тең деу t
тə уелсіз айнымалы, одан тə уелді y (t) функциясы жə не оның y (t) туындысын байланыстырып тұ рғ ан дифференциалдық тең деу. Тең деудің жалпы шешімі:
y = Cekt , мұ ндағ ы, С еркін тұ рақ ты. Егер t = 0 болса, y = C болады, демек, есептің мазмұ нына байланысты С бастапқ ы халық саны екен. 3. Кə сіпорынның t мезеттегі ө ндірген ө нім кө лемі y = y (t) болсын. Осы тауарды р бағ амен сатады десек, кə сіпорынның осы мезеттегі табысы Y (t) = p × y (t) болады. Кə сіпорынды кең ейтуге жұ мсалғ ан инвестицияны I (t) деп белгілейік жə не ол табыстің бір бө лігін қ ұ райды
I (t) = m × Y (t) = m × p × y (t),
m пропорционалдық коэффициенті, 0 < m < 1.
Ө нім ө ндіру жылдамдығ ы y (t) инвестицияғ а про- порционал болады, яғ ни: y (t) = l × I (t)
(4) жə не (5) қ атынастардан:
дифференциалдық тең деу аламыз. Мұ ндағ ы, k = mpl. Енді дифференциалдық тең деу шешімін табу мə селесіне кө шейік. Дифференциалдық тең деудің шешімін табу ү дерісін тең деуді интегралдау дейді.
9 Сұ рақ
|