![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Бірінші ретті БІРТЕКТІ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУ
Бірінші ретті дифференциалдық тең деуді қ арастырайық
y = f (x, y). Біртекті дифференциалдық тең деу біртекті функция ұ ғ ымымен байланысты. Егер кез келген a ү шін осы тең деудің оң жағ ындағ ы f (x, y) функцияғ а қ атысты
f (ax, ay) = a f (x, y) (9) қ атынасы орындалса, онда f (x, y) функциясын х жə не у айнымалылары бойынша k реттібіртектіфункция деп атайды. 1-мысал. f (x, y) = x 2 - xy функцияны біртектілікке зерттейік. Шешуі. (9) қ атынасты берілген функция ү шін жазайық:
f (ax, ay) = (ax) - ax × ay = a (x 2 - xy) = a f (x, y
функция болады екен.
![]() ![]() ![]() бірінші ретті біртекті
![]() ![]() функция екенін кө рсету керек. Шешуі. (9) қ атынасты берілген функция ү шін жазайық:
f (ax, ay) = (ax) + (ay) = a x 2 + y 2 = af (x, y) .
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
k=1 болғ андық тан f (x, y) =
![]() ![]() біртекті функция болады.
![]() 3-мысал. f (x, y) = - нө лінші ретті біртекті функция екенін кө рсету керек. Шешуі. (9) қ атынасты берілген функция ү шін жазайық:
3 f (ax, ay) = = = = a f (x, y) 2 a x 2 y 2 x 2 y k=0 болғ андық тан берілген функция бірінші ретті біртекті функция болады.
![]() функциясын x жə не y аргументтердің
қ атынасының функциясы ретінде жазуғ а болады
немесе f (x, y) = g
![]() ![]() Erep f (x, y) функциясы x жə не y бойынша нө лінші ретті
біртекті функция болса, онда y = f (x, y) бірінші ретті дифференциалдық тең деу біртекті тең деуге келтіріледі.
Егер y = f (x, y) тең деу
y' = g
![]() тү рінде жазылатын болса, ол бiртектi дифференциалдық тең деу деп аталады. Бұ л тең деуді шешу ү шін:
z =
![]() деген жаң а айнымалы енгіземіз. Осыдан
дифференциалдап, y = z + x × z, (5) тең деуге
екенін ескеріп, тең деуді
![]()
x × dz = (g (z) - z) dx тү рінде кө шіріп жазсақ, айнымалысы ажыратылатын тең деу аламыз. Тең деудің екі жағ ын x × (g (z) - z) кө бейткішке бө ліп айнымалысын ажыратамыз,
dz dx
![]() ![]() g (z) - z x Ал айнымалысы ажыратылғ ан тең деуді шешу белгілі.
Мысалы, (x - y) ydx - x 2 dy = 0 тең деуді шешу керек.
екенін ескеріп тең деуді:
![]()
(x - y) y
y = x 2 11
Сонда: f (ax, ay) = = = a f (x, y).
![]() ![]()
f (x, y) = - нө лінші ретті біртекті функция болғ андық тан ![]() x тең деу біртекті тү рге келеді:
y =-
![]() Шешу ү шін z = деген жаң а айнымалы енгізіп, осыдан y = x × z y = z + x × z, тең деуге қ оямыз:
z + x × z = z - z.
екенін ескеріп, тең деуді
![]()
x × dz = - z тү рінде кө шіріп жазсақ, айнымалысы ажыратылатын тең деу аламыз. Тең деудің екі жағ ын x × z кө бейткішке бө ліп
айнымалысын ажыратамыз, = -.
![]() ![]()
Мү шелеп интегралдаймыз,
1 1 x
![]() ![]() ![]() z z C
Енді z = белгілеуді орнына қ ойсақ, x x
![]() ![]() y C екендігі шығ ады. Шешім болып тұ рғ ан функция айқ ын емес тү рде алынды. Кейде оны дифференциалдық тең деудің жалпы интегралы деп те атайды. Мысал. Кə сіпорынның t мезеттегі ө ндірген ө нім кө лемі y = y (t) болсын. Ең бек ө німділігі ө ндірген ө нім кө леміне тең болатын кө лемді есептеу керек.
Шешуі. Ең бек ө німділігі y (t) ө нім кө лемінің туындысы болады. Олай болса, есеп шарты мынадай
y (t) = y (t). Осы дифференциалдық тең деуді шешейік:
∫ ∫ dt ⇒ ln y = t + ln C .
Осыдан тең деудің жалпы шешімі y = Cet, мұ ндағ ы С еркін тұ рақ ты. Егер t = 0 болса, y (0) = C болады, демек есептің мазмұ нына байланысты С бастапқ ы ө нім кө лемі. 1 сағ аттан кейінгі кө лем y (1) = Ce 1 . Осы екі шаманың қ атынасын алсақ y (1) Ce
, бір сағ атта жұ мыс кө лемі 2, 7 есеге артатынын y (0) C кө реміз.
|