![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР
1. Егер (1') дифференциалдық тең деудің оң жағ ы тек х-тен тə уелді функция болса, яғ ни:
y = f (x),
онда тең деуді біртіндеп интегралдау арқ ылы шешеді.
y = (y)¢ = болғ андық тан, тең деуді
d (y) = f (x) dx.
тү рінде жазамыз. Тең деуді мү шелеп интегралдап,
y = f (x) dx + C 1 аламыз, мұ ндағ ы C 1 - еркін тұ рақ ты.
Енді y = екенін ескеріп, dy = (∫ f (x) dx + C 1) dx тең деуін аламыз. Тең деуді мү шелеп интегралдап, тең деудің жалпы шешімін аламыз: y = (∫ f (x) dx + C 1) dx + C 2 = (∫ f (x) dx) dx + C 1 x + C 2 ,
мұ ндағ ы, C 2 - еркін тұ рақ ты. Мысал. Мына дифференциалдық тең деуді шешейік:
y = x.
¢ Шешуі.у² = болғ андық тан, бастапқ ы тең деу
![]()
= x ⇒ d (y) = xdx
тең деуімен мə ндес. Тең деуді мү шелеп интегралдап,
у¢ = + C 1 аламыз.
Енді
![]()
x 2
тең деуін аламыз. Тең деуді мү шелеп интегралдап, берілген екінші ретті дифференциалдық тең деудің жалпы шешімін аламыз
y =+ C 1 x + C 2, мұ ндағ ы C 1 мен С2 - еркін тұ рақ тылар.
2. Егер дифференциалды тең деу жазылуында у ( х) функция кірмесе, яғ ни:
F (x, y, y) = 0, онда тең деуді шешу ү шін:
y = z деген айнымалы енгізіліп, реті тө мендетіледі. Мұ ндағ ы z айнымалы x -тен тə уелді функция деп қ арастырамыз, z = z (x).
Сонда, y = z, y = (y) = z = екендігін кө реміз. Осы мə ндерді
![]() тең деуге қ ойсақ, бірінші ретті дифференциалдық тең деу аламыз:
F (x, z, z) = 0. Тең деуді шешіп, z -ті табамыз, z (x) = j (x, C 1). Табылғ ан
функцияны y = z тең деуге қ оямыз
y = j (x, C 1). Тағ ы бір рет интегралдап екінші ретті дифференциалдық тең деу шешімін табамыз:
y = C 1) dx + C 2 .
Мысал. x (y + 1) + y = 0 дифференциалдық тең деуді шешейік. ¢ ¢ ¢ ¢
бірінші ретті дифференциалды тең деуге келеді:
x (z + 1) + z = 0. х-ке бө ліп, 1
z + z = -1 x
сызық ты тең деу аламыз, мұ нда, P (x) =, Q (x) = -1. Тең деудің шешімін табу ү шін екінші дə рістегі (3) формуланы қ олданамыз:
x x e -ln x [ C - e ln xdx ]= x -1[ C - ∫
C x
= ![]() ![]() ![]() ![]() x 2
Сызық тытең деушешімі: -
![]() ![]() y = z болғ андық тан, C x
dy = - x 2
Мү шелеп интегралдаймыз:
dy = - x
Соң ында берілген екінші ретті дифференциалдық тең деу шешімін табамыз: x 2
y = C × ln x - + C 1
3. Егер дифференциалды тең деу жазылуында х тə уелсіз айнымалы кірмесе, яғ ни:
F (y, y, y) = 0, онда тең деуді шешу ү шін у-ті тə уелсіз айнымалы деп,
y = z деген айнымалы енгізіліп, реті тө мендетіледі. Мұ ндағ ы, z айнымалы y -тен тə уелді функция деп қ арастырамыз, z = z (y).
dz dy
× = z × z
![]() ![]() ![]() ![]() dy dx екендігін кө реміз. Осы мə ндерді тең деуге қ ойсақ, бірінші ретті дифференциалдық тең деу аламыз:
F (y, z, z × z) = 0. Тең деуді шешіп, z -ті табамыз, z (x) = j (y, C 1). Табылғ ан
функцияны y = z тең деуге қ оямыз:
y = j (y, C 1).
Айнымалысын ажыратып, = dx, мү шелеп интегралдап, j (y, C 1) екінші ретті дифференциалдық тең деу шешімін табамыз:
= x + C 2,
![]()
мұ ндағ ы, C 1 мен С2 - еркін тұ рақ тылар.
Мысал. 2 yy = (y) + 1 дифференциалдық тең деуді
шешейік.
Шешуі. z = z (y) = y деп алсақ, онда:
y = × = z z,
![]() ![]() жə не берілген тең деу 2 yzz = z + 1.
тү ріне келеді. Бұ л айнымалысы ажыратылатын тең деу:
2 zdz
![]() ![]() z +1 Интегралдасақ, ![]() ![]() ln(z + 1) = ln y + ln C 1,
dy
= dx, осыдан: C 1 y - 1 C 1 C 1 y - 1 = (x + C 2 )
немесе екінші ретті дифференциалдық тең деу шешімін табамыз:
y = (x + C 2 ) +.
|