Приклад постановки і розв’язування типової задачі

Постановка задачі

Динаміка товарообігу по деякій митниці наведена в таблиці 4.2.

Таблиця 4.2

Динаміка товарообігу (дані умовні)

Необхідно: 1. Встановити вид заданого динамічного ряду. 2. Для даного часового ряду обчислити: середній рівень ряду; ланцюгові, базисні та середні абсолютний приріст, коефіцієнт і темп зростання, коефіцієнт і темп приросту, взявши за сталу базу початковий рівень у ₀. Зробити висновки. 3. Для даного ряду динаміки встановити тенденцію та її характер шляхом порівняння рівнів ряду.Уразі необхідності провести згладжування ряду і побудувати графіки вихідного й згладженого часових рядів. 4. Провести аналітичне вирівнювання побудованого часового ряду, вибравши лінійну або квадратичну модель тренду. Вибір виду тренду необхідно обґрунтувати письмово у звіті до л. р. Після знаходження трендової кривої пояснити економічний зміст її параметрів. Побудувати графік вибраного тренду на кореляційному полі. Зробити висновки. 5. Шляхом екстраполяції вибраної трендової кривої зробити точковий прогноз рівня товарообігу на наступний часовий інтервал, тобто, на квітень. Для вибраної на власний розсуд надійної імовірності побудувати надійний інтервал для прогнозованого значення товарообігу. Зробити висновки. 6. За можливістю виконати точковий прогноз товарообігу на наступний часовий інтервал спрощеним методом за допомогою ланцюгових абсолютних приростів або коефіцієнтів зростання і порівняти його з точковим прогнозом, виконаним шляхом екстраполяції трендової кривої. Зробити висновки.

Розв’язування задачі

1. Із візуального аналізу заданого часового ряду легко побачити, що маємо інтервальний рівномірний неперервний динамічний ряд абсолютних величин.

2. Обчислення числових характеристик динамічного ряду зручно організувати в таблиці (табл. 4.3).

Таблиця 4.3

Розрахункова таблиця

і	уі	Абсолютний приріст	Коефіцієнт зростання	Коефіцієнт приросту
	17, 4	–	0, 0	–	1, 00	–	0, 00
	14, 5	-2, 9	-2, 9	0, 83	0, 83	-0, 17	-0, 17
	14, 1	-0, 4	-3, 3	0, 97	0, 81	-0, 03	-0, 19
	12, 3	-1, 8	-5, 1	0, 87	0, 71	-0, 13	-0, 29
	10, 1	-2, 2	-7, 3	0, 82	0, 58	-0, 18	-0, 42
Разом	68, 4	-7, 3	×	0, 58	×	×	×

Середній рівень ряду обчислюємо за формулою (4.1):

.

Отже, середній щомісячний рівень товарообігу за проміжок часу з листопада по березень становить 13, 68 млн. грн.

Ланцюгові та базисні абсолютні прирости обчислюємо за формулами відповідно (4.8) та (4.9):

= у ₁ – у ₀ = 14, 5 – 17, 4 = –2, 9; = у ₁ – у ₀= 14, 5 – 17, 4 = –2, 9;

= у ₂ – у ₁= 14, 1 – 14, 5 = –0, 4; = у ₂ – у ₀= 14, 1 – 17, 4 = –3, 3.

Аналогічно обчислюємо значення ∆ ₃ та ∆ ₄.

Середній абсолютний приріст обчислюємо за формулою (4.10):

.

Отже, за проміжок часу з листопада по березень товарообіг щомісяця зменшувався в середньому на 1, 825 млн. грн.

Ланцюгові та базисні коефіцієнти зростання обчислюємо за формулами відповідно (4.12) та (4.13):

; ;

; .

Аналогічно обчислюються значення k ₃ та k ₄.

Середній коефіцієнт та темп зростання обчислюємо за формулами (4.14):

, %=87, 3 %.

Отже, за проміжок часу з листопада по березень щомісячний обсяг товарообігу в середньому становив 87, 3 % від обсягу товарообігу за попередній місяць.

Ланцюгові й базисні коефіцієнти приросту обчислюємо за формулами відповідно (4.16) та (4.17):

; ;

; .

Аналогічно обчислюються значення Т ₃ та Т ₄.

Середні коефіцієнт та темп приросту обчислюємо за формулою (4.18):

, % = –12, 7 %.

Отже, за проміжок часу з листопада по березень товарообіг зменшувався щомісяця в середньому на 12, 7 %.

3. Оскільки у_{і- 1} > у_і для всіх і = , то товарообіг має чітко виражену тенденцію до зниження. Оскільки значення абсолютних ланцюгових приростів коливаються (табл. 4.3, графа 3), то за даними вихідного динамічного ряду встановити характер тенденції неможливо. Тому проведемо згладжування заданого часового ряду методом змінної середньої (метод укрупнення інтервалів в даному випадку незастосовний, оскільки кількість рівнів ряду є простим числом). Очевидно, що в даному випадку, число згладжувальних інтервалів може дорівнювати тільки трьом: т =3. Результати згладжування наведено в таблиці 4.4.

Аналізуючи згладжений часовий ряд і відповідні абсолютні ланцюгові прирости (графи 3, 4 таблиці 4.4), приходимо до висновку, що зниження товарообігу має уповільнений характер, оскільки < .

Ефект згладжування, яке суттєво усуває флуктуації рівнів часового ряду і тим самим виявляє загальну закономірність динаміки товарообігу, наглядно видно при порівнянні графіків вихідного і згладженого часових рядів (рис. 4.3).

Таблиця 4.4

Розрахункова таблиця згладжування динамічного ряду

і	Вихідний ряд	Згладжений ряд
уі	Змінна середня для 3-х інтервалів (уі)	Абсолютні ланцюгові прирости ()
	17, 4 14, 5 14, 1 12, 3 10, 1	– 15, 33 13, 63 12, 17 –	– – -1, 70 -1, 46 –

Рис. 4.3. Графіки вихідного і згладженого часових рядів

4. Для вибору виду трендової кривої проведемо візуальний аналіз гра­фіка вихідного часового ряду (рис. 4.3), з якого можна зробити висновок про лінійну залежність обсягів товарообігу від часу: . Для знаходження параметрів тренду перейдемо до умовних номерів часових інтервалів. Оскільки число (п +1) рівнів динамічного ряду є непарним, тобто, п =4=2 l і l =2, то маємо таку рівність, що пов’язує фактичні t_i та умовні номери часових інтервалів: = t_i –2. Тоді умовні параметри знаходяться за формулами (4.20). Всі подальші обчислення зручно організувати в таблиці (табл. 4.5).

Таблиця 4.5

Розрахункова таблиця

ti	уі		()2	* уі
	17, 4 14, 5 14, 1 12, 3 10, 1	-2 -1		-34, 8 -14, 5 12, 3 20, 2
∑	68, 4			-16, 8

Тоді:

a=a ₁ –b ₁ · l =13, 68+1, 68 ·2=17, 04; b=b ₁= –1, 68.

Отже, маємо такий вид лінійного тренду:

.

Для наочності і часткового контролю обчислень побудуємо трендову криву на кореляційному полі (рис. 4.4).

Рис. 4.4. Кореляційне поле і лінійна трендова крива

Той факт, що точки кореляційного поля розташовані приблизно рівномірно по обидва боки і уздовж трендової кривої, означає, що в обчисленнях немає принаймні суттєвих помилок.

Параметри тренду а =17, 04 і b = –1, 68 мають очевидний економічний зміст: відповідно, середній початковий (тобто, при t =0) рівень товарообігу та середня швидкість зміни останнього.

Треба зазначити, оскільки величини b та мають, по суті, один і той же зміст, то їх значення не повинні суттєво відрізнятись, що й має місце: і b ≈ .

5. Для виконання точкового прогнозу обсягів товарообігу на квітень (t_i=i =5= T) шляхом екстраполяції трендової кривої підставимо значення t=T =5 у рівняння тренду: .

Отже, точковий прогноз товарообігу на квітень становить 8, 64 млн. грн.

Для виконання інтервального прогнозу спочатку обчислимо регресійне середнє квадратичне відхилення за формулою (4.27). При цьому вирівняні значення рівнів часового ряду знаходимо, підставляючи відповідні значення t_i у рівняння тренду: . Обчислення зручно організувати в таблиці (табл. 4.6):

Таблиця 4.6

Розрахункова таблиця

ti	уі		(уі – )2
	17, 4 14, 5 14, 1 12, 3 10, 1	17, 04 15, 36 13, 68 12, 00 10, 32	0, 1296 0, 7396 0, 1764 0, 0900 0, 0484
∑	×	×	1, 1840

Оскільки число параметрів тренду т =2, то

Надійний інтервал будемо знаходити для надійної ймовірності р =0, 95. За таблицею критичних точок розподілу Стьюдента для двосторонньої критичної області (додаток 3) для числа степенів вільності k =4+1–2=3 і рівня значущості α =1–0, 95=0, 05 знаходимо коефіцієнт довіри t _{0, 05}(3)=3, 18. Межі надійного інтервалу знаходимо за формулою (4.26):

Отже, з надійністю 95 % можна вважати, що за умови збереження виду і характеру тенденції динаміки товарообігу обсяг товарообігу у квітні має знаходитись у межах від 6, 64 до 10, 64 млн. грн.: (6, 64; 10, 64).

6. Із таблиці 4.3 видно, що ланцюгові абсолютні прирости та коефіцієнти зростання суттєво відрізняються один від одного, а це унеможливлює виконання спрощеного точкового прогнозу методом, наведеним у п.3.6.

Контрольні запитання.

1. Дати визначення ряду динаміки, інтервального, моментного, рівномірного, неперервного часового ряду, графіка динамічного ряду та кореляційного поля.

2. Дати визначення середнього рівня для інтервальних та моментних часових рядів, навести формули для його обчислення, пояснити зміст позначень.

3. Дати визначення дисперсії, середнього квадратичного відхилення, коефіцієнта осциляції та квадратичного коефіцієнта варіації рівнів часового ряду, навести формули для їх обчислення та пояснити зміст позначень.

4. Дати визначення ланцюгових, базисних та середніх абсолютних приростів, коефіцієнту зростання, темпу зростання, коефіцієнту та темпу приросту, навести формули для їх обчислення та пояснити зміст позначень. Пояснити фізичний (економічний) зміст вищеназваних середніх характеристик.

5. Дати визначення тенденції часового ряду та її характеру. Назвати основні види та характери тенденції.

6. Пояснити методику виявлення виду тенденції та її характеру за допомогою характеристик динаміки часового ряду.

7. З якою метою та для рядів якого виду застосовується згладжування останніх?

8. Пояснити методику згладжування часових рядів методами укрупнення інтервалів та змінної середньої; зробити порівняльний аналіз названих методів; навести визначення відповідних термінів і понять.

9. З якою метою та для рядів якого виду застосовується аналітичне вирівнювання останніх?

10. Дати визначення трендової кривої та назвати етапи її побудови.

11. Назвати фактори, які визначають вибір виду трендової кривої.

12. Пояснити ідею методу найменших квадратів та методику знаходження параметрів вибраного виду тренду.

13. Дати визначення інтерполяції та екстраполяції часового ряду, точкового та інтервального прогнозування, надійних інтервалу та імовірності, коефіцієнта довіри та рівня значущості.

14. Навести формули для обчислення регресійної дисперсії та меж надійного інтервалу; пояснити зміст позначень.

15. Пояснити взаємозалежність між надійною імовірністю та точністю інтервального прогнозу (або, що те ж саме, шириною надійного інтервалу).

16. Пояснити ідею і методику точкового прогнозування наближеним способом за допомогою середніх абсолютного приросту та коефіцієнту зростання.