Понятие инерции матрицы. Связь инерции матрицы и ее свойств

Определение 2. Отображение

где - матрица, сопряженная к , называется конгруентным преобразованием (тут - невырожденная матрица).

Пусть матрица симметрична, а значит все ее собственные значения положительны.

Определение 3. Пусть - количество положительных, - количество отрицательных, - количество нулевых собственных значений матрицы . Тройка чисел называется инерцией матрицы .

Очевидно, что , т.е. определяет размер матрицы, а определяет ранг матрицы .

Теорема Сильвестра. Матрица конгруентна диагональной матрице вида:

Следующие утверждения являются эквивалентными:

1. - положительно определенная матрица;

2. имеет инерцию ;

3. Все собственные значения матрицы положительные;

4. может быть однозначно разложена в произведение Холесского: .