Алгоритм определения количества собственных значений, меньших заданного числа, его преимущества и недостатки

Существует простой способ определения количества собственных значений симметричной матрицы , меньших произвольно заданного . Результатом здесь является целое число, поэтому этот метод свободен от «неприятностей» машинной арифметики. Рассматриваемый метод является следствием теоремы Сильвестра.

Теорема. Предположим, что для матрицы существует треугольное разложение: . Количество собственных значений матрицы , меньших заданного , равно количеству отрицательных диагональных элементов верхней треугольной матрицы .

В соответствии с предыдущей теоремой алгоритм определения количества собственных значений , меньших заданного числа , выглядит следующим образом:

1. Для заданного построить матрицу ;

2. Для матрицы построить треугольное -разложение;

3. В матрице определить количество отрицательных диагональных элементов. Это количество равно числу собственных значений матрицы , меньших .