Задача № 13.

По трубе внутренним диаметром d = 44 мм движется воз­дух с высокой скоростью. Расход воздуха G = 0, 25 кг/с.

Термодинамическая температура воздуха на входе в трубу t₁ =1100 °С. Температура стенки трубы t_c = 300 °С. Давление воздуха на входе p₁ = 700 мм рт. ст. и на выходе р₂ = 500 мм рт. ст.

Какой длины должна быть труба, для того чтобы термодина­мическая температура на выходе t₂ равнялась 700 °С Определить также значения числа Маха на входе в трубу и на выходе из нее.

Решение:

Давление воздуха на входе и выходе из трубы

p₁ = 700∙ 13, 6∙ 9, 81 = 93391 Па;

р₂ = 500∙ 13, 6∙ 9, 81 = 66708 Па.

Плотность воздуха на входе в трубу

ρ ₁ = p₁ / RT₁ = 93391 / 287, 4(1100 + 273) = 0, 237 кг/м³

на выходе

ρ ₂ = p₂ / RT₂ = 66708 / 287, 4(700 + 273) = 0, 238 кг/м³

где для воздуха R = 287, 4 Дж/(кг∙ K).

Скорость воздуха на входе

на выходе

w₂ = w₁∙ (ρ ₁ / ρ ₂) = 707 ∙ (0, 237/0, 238) = 704 м/с.

Скорость звука и значения числа Маха:

α ₁ = √ kRT₁ = 20, 1 √ T₁ = 20, 1 √ 1373 = 745 м/с.

M₁= w₁/ α ₁ = 707 / 745 = 0, 95;

α ₂ = 20, 1 √ T₂ = 20, 1 √ 973 = 627 м/с.

M₂= w₂/ α ₂ = 704 / 627 = 1, 12;

Температура торможения

υ ₁= T₁ + (w₁² / 2 c_p1) = 1373 + (707² / 2∙ 1197) = 1373 + 209 = 1582 K,

где при t₁ =1100 °С с _p1 =1, 197 кДж/(кг∙ K)

υ ₂= T₂ + (w₂² / 2 c_p2) = 973 + (704² / 2∙ 1135) = 973 + 218 = 1191 K,

где при t₂ =700 °С с_р2=1, 135 кДж/(кг∙ K).

Среднелогарифмическая разность температур торможения

Среднеарифметическая температура воздуха

Т =0, 5 (Т₁ + Т₂) = 0, 5 (1373+973) = 1173 К

или t = 1173—273 = 900 °С.

Коэффициент теплоотдачи в рассматриваемых условиях может быть приближенно рассчитан по формуле Nu = Nu_ж (1, 27– 0, 27Θ), где в качестве определяющей температуры принимается t, а коэффициент теплоот­дачи отнесен к разности температур Δ υ _л. При t=900 °С λ _ж = 7, 63∙ 10^-2 Вт/(м∙ K); μ _ж = 46, 7∙ 10^-6 Па∙ с; c _{p ж} =1, 172 кДж/(кг∙ K); Рr_ж = 0, 717.

Re _ж = 4 G / (π d μ _ж) = (4∙ 0, 25) / (3, 14∙ 4, 4∙ 10^-2∙ 46, 7∙ 10^-6) = 1, 5 ∙ 10⁵

Предполагая, что отношение l / d > 50, найдем:

Nu _ж = 0, 021 Re^{0, 8}_жPr^{0, 43}_ж = 0, 021∙ (1, 5∙ 10⁵)^{0, 8}∙ (0, 717)^{0, 43} = 251.

Поправка на температурный фактор по нижеследующей формуле при охлаждении газа:

Nu = Nu_ж (1, 27— 0, 27Θ), где Θ = T_c / T = 623 / 1173 = 0, 5

Таким образом,

Nu = 251 (1, 27— 0, 27 ∙ 0, 5) = 285;

α = Nu(λ _ж / d) = 285(7, 63∙ 10^-2 / 4, 4∙ 10^-2) = 494 Вт/(м² ∙ K);

Плотность теплового потока

q = α Δ _л = 494 ∙ 746 = 3, 68∙ 10⁵ Вт/м².

Количество передаваемого тепла

Q = G c_{p ж} (υ ₁— υ ₂) = 0, 25∙ 1172(1582—1191) = 1, 14∙ 10⁵ Вт.

Поверхность теплообмена

F = Q / q = (1, 14∙ 10⁵) / (3, 68∙ 10⁵) = 0, 309 м².

Искомая длина трубы

l = F / π d = 0, 309 / (3, 14 ∙ 4, 4∙ 10^-2) = 2, 2 м.

Ответ: l = 2, 2 м; М₁ = 0, 95; М₂ = 1, 12.