Лекция 5. Двумерные и многомерные случайные величины

Двумерная СВ, совместная функция распределения и ее свойства. Дискретная двумерная СВ. Непрерывная двумерная СВ. Независимые случайные величины. Ковариация и коэффициент корреляции СВ, их свойства. Условное математическое ожидание. Регрессия.

ОЛ-1 гл 5, 7, 8.

Определение. Совокупность случайных величин X ₁ = X ₁(ω),.... Х_п = Х_n (ω), заданных на одном и той же вероятностном пространстве (Ω, B, Р), называют многомерной (n-мерной) случайной величиной, или n-мерным случайным вектором. При этом сами случайные величины Х ₁, Х ₂,..., Х_п называют координатами случайного вектора. В частности, при n = 1 говорят об одномерной, при n = 2 − двумерной случайной величине (или двумерном случайном векторе).

Пример. Отклонение точки разрыва снаряда от точки прицеливания при стрельбе по плоской цели можно задать двумерной случайной величиной (X, Y), где X − отклонение по дальности, а Y − отклонение в боковом направлении.

Определение. Функцией распределения (вероятностей)

(n -мерного) случайного вектора называют функцию, значение которой в точке равно вероятности совместного осуществления (пересечения) событий { X ₁ < x ₁},..., { X_n < x_n }, т.е.

Функцию распределения называют также совместной (n-мерной) функцией распределения случайных величин Х ₁, Х ₂,..., Х_п.

Теорема. Двумерная функция распределения удовлетворяет следующим свойствам.

1. 0 ≤ F (x ₁, x ₂) ≤ 1.

2. F (x ₁, x ₂) − неубывающая функция по каждому из аргументов х ₁и х ₂.

3. .

4. .

5. .

6. F (x ₁, x ₂) − непрерывная слева в любой точке по каждому из аргументов x ₁и x ₂ функция.

7. , .

Доказательство. Утверждения 1 и 2 доказываются точно так же, как и в одномерном случае. 3. События { Х 1 < − ∞ } и { Х 2 < − ∞ } являются невозможными, а пересечение невозможного события с любым событием, как известно, также невозможное событие, вероятность которого равна нулю. Отсюда с учетом определения вытекает утверждение 3. Аналогично из того, что события { Х 1 < +∞ } и { Х 2 < +∞ } так же, как и их пересечение, являются достоверными, вероятность которых равна единице, вытекает утверждение 4. Чтобы найти вероятность попадания двумерной случайной величины (Х 1, Х 2)в прямоугольник (на рис. заштрихован), сначала определим вероятность попадания в полуполосу (отмечена двойной штриховкой). Но эта вероятность представляет собой вероятность попадания в квадрант за вычетом вероятности попадания в квадрант т.е. Теперь осталось заметить, что вероятность попадания в пря­моугольник совпадает с вероятностью попадания в полуполосу , из которой вычитается вероятность попадания в полуполосу , равная . Окончательно получим утверждение 5. Подобно одномерному случаю доказывается и утверждение 6. Наконец, событие { Х 2 < +∞ } является достоверным, поэтому

Утверждение 7 устанавливает естественную связь между двумерной функцией распределения случайного вектора (Х ₁, Х ₂)и функциями и , которые называют одномерными (говорят также частными, или маргинальными) функциями распределения случайных величин X ₁и Х ₂.