Непрерывные случайные величины

Определение. Непрерывной двумерной случайной величиной (X, Y)называют такую двумерную случайную величину (X, Y), совместную функцию распределения которой можно представить в виде сходящегося несобственного интеграла:

Функцию называют совместной двумерной плотностью распределения случайных величин X и Y, или плотностью распределения случайного вектора (X, Y).

Так же как и в одномерном случае, будем предполагать, что непрерывная (или непрерывная за исключением отдельных точек или линий) функция по обоим аргументам. Тогда в соответствии с определением непрерывной случайной величины и теоремой о дифференцировании интеграла с переменным верхним пределом совместная плотность распределения представляет собой (в точках ее непрерывности) вторую смешанную производную совместной функции распределения:

Теорема. Двумерная плотность распределения обладает следующими свойствами:

l) 2)

3)

4)

5) ; 6)

7) ; 8)

Доказательство. Свойства 1− 5 аналогичны свойствам одномерной плотности распределения. Свойство 6 является обобщением свойства 2. Докажем утверждения 7 и 8. Из свойства 7 двумерной функции распределения и определения двумерной плотности распределения вытекает: откуда, дифференцируя интегралы по переменному верхнему пределу, получаем утверждение 7 для одномерных (частных, маргинальных) плотностей распределения рX (х)и pY (y)случайных величин X и Y.

Определение. Случайные величины X и Y называют независимыми, если совместная функция распределения F_{X, Y} (х, у)является произведением одномерных функций распределения F_X (x)и F_Y (y): F_{X, Y} (х, у) = F_X (x) F_Y (y). В противном случае случайные величины называют зависимыми.

Теорема. Для того чтобы непрерывные случайные величины X и Y были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы для всех х и у p_{X, Y} (х, у) = p_X (x) p_Y (y).

Доказательство. Пусть случайные величины X и Y независимые. Тогда, согласно определению, FX, Y (х, у) = FX (x) FY (y). С учетом свойств совместной плотности распределения имеем Тем самым необходимость утверждения доказана. Для доказательства достаточности следует воспользоваться определением двумерной плотности распределения и определением независимости случайных величин

Теорема. Дискретные случайные величины X и Y являются независимыми тогда и только тогда, когда для всех возможных значений x_i и y_i:

Определение. Ковариацией (корреляционным моментом)cov(X ₁, X ₂) случайных величин X ₁и X ₂называют математическое ожидание произведения случайных величин и

Для дискретных случайных величин X ₁и X ₂

для непрерывных случайных величин X ₁и X ₂

Полезное равенство для произвольных случайных величин

Теорема. Ковариация имеет следующие свойства.

1. cov(X, X) = D X.

2. cov(X ₁, X ₂)= 0 для независимых случайных величин X ₁и X ₂.

3. Если Y ₁ = a ₁ X ₁ + b ₁и Y ₂ = a ₂ X ₂ + b ₂, то cov(Y ₁, Y ₂) = a ₁ a ₂cov(X ₁, X ₂).

4. .

5. Равенство верно тогда и только тогда, когда случайные величины X ₁и X ₂связаны линейной зависимостью, т.е. существуют такие числа a и b, при которых X ₂ = aX ₁ + b.

6. cov(X ₁, X ₂) = M(X ₁ X ₂) − M X ₁M X ₂.

Доказательство. 1) Утверждение вытекает из очевидного соотношения cov(X, X) = М(Х − M X)2. 2) Если случайные величины Х 1и Х 2являются независимыми (и имеют математические ожидания), то cov(X 1, X 2) = M((X 1 − М Х 1)(Х 2− М Х 2))= (M(X 1 − М Х 1))(M(Х 2− М Х 2)), откуда приходим к утверждению 2. 3) Пусть Y = a 1 X 1 + b, Y 2 = a 2 X 2 + b 2. Тогда 4) Рассмотрим дисперсию случайной величины Yx = xX 1 − X 2, где х − произвольное число. В силу свойств дисперсии и свойства 3 ковариации Дисперсия D Yx, как функции от х, представляет собой квадратный трехчлен. Но дисперсия любой случайной величины не может быть меньше нуля, а это означает, что дискриминант D = (2 cov(X 1, X 2))2 − 4 D X 1D X 2 квадратного трехчлена D Yx является неположительным. 5) Пусть выполнено равенство . Значит, дискриминант D равен нулю, и уравнение D Yx = 0 имеет решение, которое обозначим а. Тогда случайная величина Ya = аХ 1 − X 2принимает всего одно значение (допустим, b), и, следовательно, Х 2 = аХ 1 − b, т.е. случайные величины X 1и X 2связаны линейной зависимостью. Наоборот, пусть X 2 = aX 1 + b. Тогда в соответствии со свойством 1 дисперсии D Ya = 0, а значит, дискриминант D является неотрицательным. Поскольку при доказательстве утверждения 4 было показано, что этот дискриминант неположителен, то он равен нулю, откуда следует, что 6) Раскрывая скобки в формуле, определяющей ковариацию, и используя свойства математического ожидания, получаем требуемое.

Определение. Случайные величины X и Y называют некоррелированными, если их ковариация равна нулю, т.е. cov(Х, Y) = 0.

Определение. Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называют число ρ = ρ (X, Y), определяемое равенством (предполагается, что D X > 0 и D Y > 0)

Теорема. Коэффициент корреляции имеет следующие свойства.

1. ρ (X, X) = 1.

2. Если случайные величины X и Y являются независимыми (и существуют D X > 0 и D Y > 0), то ρ (X, Y)= 0.

3. ρ (a ₁ X ₁ + b ₁, a ₂ X ₂ + b ₂) = ± ρ (X ₁, X ₂)При этом знак плюс нужно брать в том случае, когда а ₁и а ₂имеют одинаковые знаки, и минус − в противном случае.

4. − 1 ≤ ρ (X, Y) ≤ 1.

5. |ρ (X, Y)| = 1 тогда и только тогда, когда случайные величины X и Y связаны линейной зависимостью.