Порядок виконання завдання

Дослідимо наявність мультиколінеарності, вико­навши такі кроки:

1. Нормалізацію (стандартизацію) пояснювальних змінних моделі.

2. Розрахунок кореляційної матриці r_хх.

3. Визначення детермінанта матриці r_хх. та критерію c².

4. Розрахунок матриці, оберненої до матриці r_хх.

5. Визначення F-критерію.

6. Обчислення частинних коефіцієнтів кореляції.

7. Визначення t-критерію.

Крок 1. Нормалізація (стандартизація) незалежних змінних моделі.

Обчислимо середні арифметичні незалежних змінних:

.

Визначимо стандартні відхилення.

Позначимо вектори незалежних змінних – продуктивності праці, фондомісткості, коефіцієнтів плинності робочої сили – через Х₁, Х₂, Х₃. Елементи нормалізованих векторів обчислимо за формулою:

де n – кількість спостережень, n = 15;

m – кількість незалежних змінних, m = 3;

– середнє арифметичне значення компонентів вектора х _k;

– дисперсія змінної х _k.

Із формули випливає, що спочатку потрібно обчислити середні арифметичні значення і величини для кожної незалежної змінної. Дисперсії кожної незалежної змінної мають такі значення:

Усі розрахункові дані для нормалізації змінних Х₁, Х₂, X₃, згідно з поданими співвідношеннями наведено в табл. 7.4.

Таблиця 8.4

–7, 94	–9, 79	–1, 39	63, 0436	95, 9094	1, 9414	–0, 4729	–0, 3610	–0, 3502
–6, 04	–7, 49	–1, 19	36, 4816	56, 1500	1, 4240	–0, 3598	–0, 2762	–0, 2999
–4, 04	–6, 59	–0, 99	16, 3216	43, 4720	0, 9867	–0, 2406	–0, 2430	–0, 2497
–2, 34	–6, 29	–0, 89	5, 4756	39, 6060	0, 7980	–0, 1394	–0, 2320	–0, 2245
–1, 24	–4, 89	–0, 79	1, 5376	23, 9447	0, 6294	–0, 0739	–0, 1804	–0, 1994
–0, 74	–2, 19	–0, 69	0, 5476	4, 8107	0, 4807	–0, 0441	–0, 0808	–0, 1743
–0, 74	–1, 79	–0, 39	0, 5476	3, 2160	0, 1547	–0, 0441	–0, 0661	–0, 0989
–0, 64	–1, 09	–0, 29	0, 4096	1, 1954	0, 0860	–0, 0381	–0, 0403	–0, 0737
–0, 54	1, 01	–0, 19	0, 2916	1, 0134	0, 0374	–0, 0322	0, 0371	–0, 0486
–0, 24	1, 71	0, 21	0, 0576	2, 9127	0, 0427	–0, 0143	0, 0629	0, 0519
0, 96	2, 11	0, 91	0, 9216	4, 4380	0, 8220	0, 0572	0, 0776	0, 2279
2, 86	2, 91	1, 11	8, 1796	8, 4487	1, 2247	0, 1704	0, 1071	0, 2782
5, 16	4, 21	1, 31	26, 6256	17, 6960	1, 7074	0, 3074	0, 1551	0, 3284
7, 06	9, 91	1, 61	49, 8436	98, 1420	2, 5814	0, 4205	0, 3651	0, 4038
8, 46	18, 31	1, 71	71, 5716	335, 1340	2, 9127	0, 5039	0, 6748	0, 4290
Всього…			281, 86	736, 0893	15, 829

Тоді знаменник для нормалізації кожної незалежної змінної буде такий:

X₁: ;

X₂: ;

X₃: .

Матриця нормалізованих змінних подається у вигляді:

Крок 2. Розрахунок кореляційної матриці нульового порядку⁾.

де X^* – матриця нормалізованих пояснювальних змінних;

– матриця, транспонована до X^*.

Маємо:

Кожний елемент цієї матриці характеризує тісноту зв'язку однієї незалежної змінної з іншою. Оскільки діагональні елементи характеризують тісноту зв'язку кожної незалежної з цією самою змінною, то вони дорівнюють одиниці.

Решта елементів матриці r_хх такі:

	0, 944;
	0, 9426;
	0, 9183.

Парні коефіцієнти кореляції характеризують тісноту зв'язку між двома змінними. Вони можуть змінюватися в межах
від –1 до 1.

Коефіцієнти парної кореляції r₁₂, r₁₃ близькі до одиниці, тому можна передбачити, що досліджувані незалежні змінні є мультиколінеарними. Користуючись цими коефіцієнтами, можна зробити висновок, що між змінними Х₁ і Х₂, Х₁ і Х₃ та Х₂ і Х₃ існує вельми високий зв'язок.

Постає запитання: чи цей зв’язок є виявленням мультиколінеарності і через це негативно впливатиме на оцінку параметрів економетричної моделі? Звертаємося до алгоритму Фаррара-Глобера.

Крок 3. Обчислимо детермінант кореляційної матриці r_хх і критерій c²:

а)

б) (n=15; m=3)

ln|r_xx | = –4, 482;

Отже, критерій c²= 54, 5307.

Якщо ступінь свободи дорівнює а рівень значущості a=0, 01, то критерій c²_табл = 11, 3449.

Оскільки – робимо висновок, що в масиві змінних існує мультиколінеарний зв'язок.

Крок 4. Розрахуємо матрицю, обернену до матриці r_xx:

Матриця C – симетрична, і її діагональні елементи завжди мають бути додатними.

Крок 5. Визначення F-критерію:

де n – кількість спостережень; m – кількість пояснювальних змінних.

Виконавши обчислення, дістанемо:

Коли a = 0, 05 і ступені свободи m–1=3–1=2, n–m=15–3=12 маємо F_крит = 3, 885.

Фактично знайдене значення F-критерію порівнюємо з табличним. У нашому випадку F_факт > F_крит , тобто незалежні змінні мультиколінеарні з рештою змінних.

Коефіцієнт детермінації до кожної змінної:

Якщо коефіцієнт детермінації наближається до одиниці, то незалежна змінна мультиколінеарна з іншими.

Крок 6. Обчислення частинних коефіцієнтів кореляції:

де с_kj – елемент матриці С, що міститься в k-му рядку i j-му стовпці;
с_kk і с_jj – діагональні елементи матриці С.

Частинні коефіцієнти кореляції характеризують рівень тісноти зв'язку між двома змінними за умови, що решта змінних на цей зв'язок не впливає. Частинні коефіцієнти кореляції за модулем нижчі, ніж коефіцієнти парної кореляції, бо на їхній рівень не впливає решта змінних, які мають зв'язок із цими двома.

Крок 7. Обчислення t-критеріїв:

Обчислені t-критерії порівнюємо з табличним за вибраного рі­вня значущості a = 0, 05 і ступенів свободи n–m= 12.

Якщо t_kj більше за t_табл, як у нашому випадку, то пара цих пояснювальних змінних тісно пов'язана між собою.

Оскільки розраховані t₁₂ > t_табл та t₁₃ > t_табл, то можна зробити висновок, що пари цих пояснювальних змінних (X₁ і X₂ та X₁ і X₃) – тісно пов'язані між собою.