Приклад виконання завдання

Задача. Потрібно побудувати виробничу функцію Кобба-Дугласа за статистичними спостереженнями:

Y – вартість випущеної продукції, тис. грн.;

Х₁ – вартість основних виробничих фондів, тис. грн.;

Х₂ – витрати праці, люд-год.

Дані для розрахунків в табл. 7.1.

Виробнича функція Кобба-Дугласа має вигляд:

Y=A₀· X₁^A1· X₂^A2

Проведемо логарифмування для отримання лінійної моделі:

Приймемо такі позначення:

Y*=lnY; А₀*=lnА₀; Х₁*=lnХ₁; Х₂*=lnХ₂.

В результаті підстановки отримаємо:

Y* = А₀*+A₁· Х₁*+ A₂ · Х₂*.

Таблиця 7.1

Вихідні дані для розрахунків

За допомогою статистичної функції Microsoft Excel ЛИНЕЙН отримаємо регресійну модель: .

А₁> 1, тобто збільшення вартості основних виробничих фондів на 1 тис. грн. збільшує вартість випущеної продукції, а 0< А₂< 1, тобто збільшення витрат праці зменшує вартість випущеної продукції.

Коефіцієнт детермінації R²=0, 971 (коефіцієнт кореляції R=0, 987) – зв’язок між залежною та незалежними змінними в моделі досить високий. Модель можна використовувати для аналізу виробничого процесу.

Проведемо аналіз отриманих результатів:

1) Середня продуктивність при фіксованих обсягах становить:

(у формули підставимо середні значення Х₁ і Х₂)

С₁ – середня фондовіддача; С₂ – середня продуктивність праці.

2) Гранична продуктивність при фіксованих обсягах інших ресурсів або середня кількість продукції на одиницю Х₁ або Х₂:

Г₁ показує скільки додаткових одиниць продукції дає 1 тис. грн. витраченим фондів при незмінних витратах праці; Г₂ показує скільки додаткових одиниць продукції дає 1 люд-год. при фіксованих основних виробничих фондах.

3) Відносна зміна результатів виробництва на одиницю:

Е₁ = А₁ = 1, 387;

Е₂ = А₂ = 0, 458.

Е₁ показує, що зміна основних виробничих фондів на 1% при незмінних витратах праці, викликає зміну обсягу продукції на 1, 387%. Е₂ показує, що зміна витрат праці на 1 % при незмінних витратах основних фондів викликає зміну обсягу продукції на 0, 458%.

Витрати основних фондів більше впливають на зміни вартості випущеної продукції ніж витрати праці.

4) Потреба у будь-якому ресурсі за умов що відомі величини випуску і обсягів інших ресурсів:

Х₁ показує скільки потрібно основних виробничих фондів для того, щоб отримати відомий випуск продукції – Y, якщо відома кількість витрат праці.

Х₂ показує скільки потрібно витрат праці для того, щоб отримати відомий випуск продукції – Y, якщо відома кількість витрат основних фондів.

5) Співвідношення заміни та взаємодії ресурсів, а саме фондоозброєність – це взаємодія трудових ресурсів і основних фондів:

Х₁/Х₂ – середня фондоозброєність, це взаємодія основних фондів і витрат праці.

6) Гранична норма заміни ресурсів, а саме гранична норма заміни витрат праці виробничими фондами (знак мінус означає, що при сталому обсязі виробництва збільшення одного ресурсу відповідає зменшенню другого і навпаки:

При сталому обсязі виробництва збільшення основних виробничих фондів відповідає зменшенню трудових ресурсів, чим вище Х₁/Х₂, тобто фондоозброєність, тим вища і норма заміни ручної праці фондами.

7) Ефект одночасного пропорційного збільшення обох видів ресурсів обчислюється сумарним коефіцієнтом еластичності:

А=1, 387+0, 458=1, 845> 1, тобто збільшення ресурсів у k разів призведе до збільшення випуску продукції більше ніж у k разів, а саме у k^{1, 845} разів.

8) Темпи приросту показника виражаються лінійно через темпи приросту факторів:

DY = А_ІDХ_І + А₂DХ₂ = 1, 387DХ₁ + 0, 458DХ₂.

9) Для наочного уявлення взаємозамінюваності факторів побудуємо ізокванту (рис. 7.1), для цього спочатку обчислимо значення параметра b.

Графік будуємо за точками, обчисленими в табл.7.2.

Таблиця 7.2

Точки для побудови ізокванти взаємодії ресурсів обладнання і праці

Рис. 7.1. Ізокванта

Додаток 6