Перевірка значимості коефіцієнта детермінації, коефіцієнта кореляції та оцінок параметрів моделі множинної регресії.

Перевірка значимості коефіцієнта детермінації

Висувається нульова гіпотеза H₀: R²=0,

або H₀: b₁ = b₂ =... = b_n = 0.

Альтернативна до неї є Н_А: (b_j ≠ 0)

За отриманими в моделі значеннями коефіцієнта детермінації R²обчислюємо експериментальне значення F-статистики:

Визначимо табличне значення F-критерію Фішера:

Порівняємо з табличним значенням розподілу Фішера при ступенях вільності f₁ = n–m–1, f₂ = n–1 та рівні значущості a= 0, 05:

F_експ > F_табл

Нульова гіпотеза відхиляється.

Відхи­лення нуль-гіпотези свідчить про значимість коефіцієнта детермінації.

Перевірка значимості коефіцієнта кореляції

Коефіцієнт кореляції, як вибіркова характеристика, перевіряється на значущість за допомогою t-критерію Ст’юдента при k=n–m₁ ступенях вільності тарівні значимості a=0, 05.

Величина експериментального значення t-статистики перевищує табличне:

|t_експ| > t_табл

9, 049 > 2, 57058

Тобто можна зробити висновок, що коефіцієнт кореляції достовірний (зна­чущий), а зв'язок між залежною змінною та всіма незалежними факторами суттєвий.

Перевірка значимості оцінок параметрів моделі

множинної регресії

Для оцінки значимості кожного параметра моделі перевіряємо їх за допомогою t-критерію Ст’юдента:

де с_jj – діагональний елемент матриці (Х' Х)^-1;

– стандартна похибка оцінки параметра моделі.

Статистичну значущість кожного параметра моделі можна пере­вірити за допомогою t-критерію. При цьому нульова гіпотеза має вигляд:

Н₀ : b_j = 0,

альтернативна

Н_А : b_j ≠ 0.

Будемо наслідувати відповідний алгоритм. Задамо рівень значущості a=0, 05, визначимо табличне значення t-критерію Ст’юдента (t_табл =2, 5058) і розрахуємо значення t-критерію для кожного параметра.

Перевіряємо виконання нерівності | t_спос | > t_табл робимо висновки про стійкість впливу відповідного параметру на залежну змінну Y:

Знайдемо інтервали надійності для кожного окремого параметра за формулою:

P (17, 4 < b₀ < 30, 37) = 0, 95

P (0, 37 < b₁ < 1, 579) = 0, 95

P (–0, 02 < b₂ < 0, 779) = 0, 95

3. Обчислимо прогнозні значення Y_пр:

У рівняння Y_розр = 23, 89 +0, 97X₁ +0, 38X₂ підставимо прогнозні значення фактору Х_пр = (1, 15, 35), що лежить за межами базового періоду (точковий прогноз):

Y_пр = 23, 89 + 0, 97 × 15 + 0, 38 × 35 = 51, 79

Тоді M(Y_пр) можна розглядати як оцінку прогнозного значення математичного сподівання та індивідуального значення обсягу виробленої продукції при відомих параметрах вартості основних засобів (Х₁) та чисельності працюючих (Х₂).

Визначимо дисперсію прогнозу з урахуванням матриці похибок, яка для прикладу має вигляд:

Елементи дисперсійно-ковартційної матриці, які розраховуються за формулами і мають значення:

Знайдемо дисперсію прогнозу:

Середньоквадратична похибка прогнозу математичного сподівання M(Y _np):

Довірчий інтервал для математичного сподівання M(Y _np) прогнозного значення розрахуємо за формулою:

де t – табличне значення t-критерію Ст’юдента з ступенем вільності k=n–m₁ тарівнем значимості a=0, 05.

51, 79 – 2, 57058 × 1, 5046 ≤ M(Y_пр) ≤ 51, 79 + 2, 57058 × 1, 5046

Знайдемо межі інтервального прогнозу індивідуального значення Y_пр:

Для цього обчислимо дисперсію та стандартну похибку прогнозу індивідуального значення Y_пр:

51, 79 – 2, 57058 × 1, 9858 ≤ Y_пр  ≤ 51, 79 + 2, 57058 × 1, 9858

4. Графічне зображення моделі ґрунтується на побудові ліній регресії, в прямокутних координатах Y – x₁ та Y – x₂ (рис. 6.1).

При цьому масштаб треба обрати таким, щоб мінімальні та максимальні значення x₁ та x₂ співпадали між собою.

Лінія регресії Y= f (X₁) при X₂=const відображає вплив першого фактора х₁ на продуктивність праці при постійному значенні другого х₂ (середнє значення х₂).

Лінія регресії Y= f (X₂) при X₁=const відображає вплив другого фактора х₂ на продуктивність праці при постійному значенні х₁ (середнє значення х₁).

Рис. 6.1. Графічне зображення моделі