Методика вивчення понять рівності, нерівності, рівняння

Поняття про рівності, нерівності і рівняння розкривають у вза­ємозв'язку. Роботу над ними починають з І класу, органічно поєд­нуючи з вивченням арифметичного матеріалу.

Числові рівності і нерівності. Програма з математики становить завдання навчити дітей порівнювати числа, а також вирази, щоб установити відношення «більше», «менше», «дорівнює»; навчити за­писувати результати порівняння -за допомогою знаків «>», «<», -«=» і читати утворення рівності і нерівності.

Числові рівності і нерівності утворюються на підставі порівнян­ня заданих чисел або арифметичних виразів. Тому знаками «>», {і«<», «=» з'єднують не будь-які два числа, не будь-які два вирази, а лише ті, між якими є такі відношення. Два рівні числа або два вирази, що мають однакові значення, з'єднані знаком «=», утворю­ють рівність. Якщо одне число більше (менше) за друге або один вираз має більше (менше) значення, ніж другий, то, з'єднані від-' повідним знаком, вони утворюють нерівність. Отже, у молодших школярів спочатку формуються поняття тільки про правильні рівності і нерівності.

Проте в процесі роботи над рівняннями, виразами і нерівнос­тями із змінною учні, підставляючи різні значення змінної, нагро­маджують спостереження і впевнюються в тому, що рівності і не­рівності бувають як правильні, так і неправильні.

Такий підхід до розкриття понять визначає методику роботи над рівностями, нерівностями і рівняннями, яку буде розкрито далі.

Ознайомлення з рівностями і нерівностями в початкових класах І безпосередньо пов'язують із вивченням нумерації і арифметичних Дій.

Числа порівнюють спочатку, виходячи з порівняння множин. Як відомо, множини порівнюють за допомогою встанов­лення взаємно-однозначної відповідності. Цьому способу порівнян­ня множин навчають дітей під час підготовчого періоду і на початку вивчення нумерації чисел першого десятка (див. розділ II, с. 52). Водночас лічать елементи множин і порівнюють знайдені числа (кружків 7, трикутників 5, кружків більше, ніж трикутників, 7 біль­ше, ніж 5). Далі, порівнюючи числа, учні виходять з їх місця в на­туральному ряді: 9 менше, ніж 10, бо під час лічби число 9 назива­ють перед числом 10; 5 більше, ніж 4, бо під час лічби число 5 називають після числа 4. Установлені відношення записують за Допомогою знаків «>», «<», «=». Учні виконують вправи на чи­тання і записування рівностей і нерівностей.

Згодом під час вивчення нумерації чисел у межах 100, 1000, а також нумерації багатоцифрових чисел числа порівнюють, виходя­чи з їхнього місця в натуральному ряді, або на підставі розкладу чисел за десятковим складом і порівняння відповідних розрядних чисел, починаючи з вищого розряду (75> 48, бо 7 десятків більше, Ніж 4 десятки; 75> 73, бо десятків порівну, а одиниць у першому Числі більше, ніж у другому).

Іменовані числа спочатку порівнюють за самими значеннями величин. Поступово діти переходять до порівняння чисел з однаковими найменуваннями. Порівняння іменованих чи­сел— дуже складний для учнів матеріал, тому, щоб учні добре за­своїли цю операцію, радимо систематично в І—III класах розв'язу­вати різні вправи, наприклад:

Замініть однаковим числом: 7 км 500 м=П м, 3080 кг =
= О т П кг.

Знайдіть такі числа, щоб запис був правильний: ú год< ú хв, ú см = ú дм ú см, ú т ú ц = ú кг.

Вставте найменування біля чисел так, щоб запис був прави­
льний: 35 км=35000..., 16 хв> 16..., 17 т 5 ц=17500....

4. Перевірте, правильні чи неправильні дано рівності, виправте знак (число в лівій частині, число в правій частині), якщо рівності неправильні: 4 т 8 ц—480 кг, 100 хв = 1 год, 2 м 5 см = 250 см.

Такі- вправи допомагають дітям засвоїти не тільки поняття рів­них і нерівних іменованих чисел, а й відношення одиниць вимірю­вання.

До порівняння виразів переходять поступово. Спочатку.в про­цесі вивчення додавання і віднімання в межах 10 діти тривалий час виконують вправи на порівняння виразу і числа (числа і виразу). Перші нерівності виду: 3+1 > 3, 3—1< 3 корисно діста­вати з рівності (3=3), супроводячи перетворення відповідними операціями над множинами. Наприклад, на класному набірному полотні і на партах відкладено 3 трикутники і 3 кружки і записано: 3=3. Учитель пропонує дітям присунути до 3 трикутників ще один трикутник і записати це (3+1—запис під трикутниками). Кіль­кість кружків не зменшилась (3). Учні порівнюють число трикут­ників і кружків і впевнюються, що трикутників більше, ніж круж­ків (4> 3); отже, можна записати: 3+1 > 3 (три плюс один більше, ніж три). Аналогічну роботу виконують з нерівністю 3—1<; 3.

Надалі вираз і число (число і вираз) учні порівнюють, не ко­ристуючись операціями над множинами; знаходять значення вира­зу і порівнюють його із заданим числом; запис матиме вигляд:

5+3> 5, 2< 7-4, ' 7=4+3,
8> 5 2< 3. 7=7

Після ознайомлення з назвами виразів учні читають рівності і нерівності так: сума чисел 5 і 3 більша за число 5; число 2 менше за різницю чисел 4 і 7 і т. д.

Спираючись на операції з множинами і порівняння множин, учні практично засвоюють найважливіші властивості рівностей і не­рівностей (якщо а = Ь, то Ь=а; якщо а> Ь, то Ь< а).

Дітям видно, що коли кружків і трикутників порівну (рис. 45), то можна сказати, що кружків стільки, скільки трикутників (3+ +2=5), а також трикутників стільки, скільки кружків (5=3+2). Якщо ж предметів не порівну (рис. 46), то одних більше (3+1 > 3), а інших менше (3< 3+1).

Далі під час вивчення дій у межах 100, 1000 і 1 000 000 вправи на порівняння виразу і числа дають на новому числовому матеріа­лі, а також збільшують кількість чисел і знаків дій у виразах.

Порівнюючи неодноразово спеціально підібрані вирази і числа, наприклад: 17+0 і 17, 19—0 і 19, 7-1 і 7, 0: 5 і 0, с+1 І с, с: \ і с і т. д., учні нагромаджують спостереження про особливі випадки дій, глибше усвідомлюють конкретний зміст дій. Вправи на порів­няння виразів і числа закріплюють уміння читати вирази і сприя­ють виробленню обчислювальних навичок.

Порівняти два вирази — означає порівняти їхні зна-* чення. Вправи на порівняння виразів вперше вводять ще напри­кінці вивчення додавання і віднімання в межах 10, а потім під час вивчення дій у всіх концентрах такі вирази розв'язують система­тично. Наприклад, нехай треба порівняти суми: 6+4 і 6+3. Учень міркує так: перша сума дорівнює 10, друга — 9; 10 більше, ніж 9; отже, сума чисел 6 і 4 більша за суму чисел 6 і 3. Це міркування відображають у записах: '

6+4> 6+3, 10> 9

4+4.= 10-2,

7 —5< 7—З, 2< 4

У процесі вивчення дій в інших концентрах вправи на порівнян­ня виразів ускладнюють: складнішими стають вирази, учням про­понують завдання вставити в один з виразів відповідне число так, щоб дістати правильні рівності чи нерівності; перевірити, чи пра­вильні рівності (нерівності) дано, неправильні виправити, змінив­ши знак відношення або число в одному з виразів; скласти з даних виразів правильні рівності або правильні нерівності. Самі вирази добирають так, щоб, порівнюючи їх, учні спостерігали властивості і залежності між компонентами і результатами дій. Наприклад, установивши за допомогою обчислень, що сума 60+40 більша за суму 60+30, учитель пропонує порівнювати відповідні доданки цих сум, і діти зазначають, що перші доданки-в цих сумах однако­ві, а другий доданок у першій сумі більший, ніж у другій. Підмічаю­чи цю залежність багато разів, учні приходять до узагальнення, а потім свої знання використовують під час порівняння виразів.

Отже, під Час вивчення всіх концентрів вправи на порівняння чисел і виразів, з одного боку, сприяють формуванню понять про рівності і нерівності, а з другого — засвоєнню знань про нумерацію і арифметичні дії, а також виробленню обчислювальних навичок.

Нерівності із змінною. Нерівності із змінною виду: х+3< 7, 10—л; > 5, л; -4> 12, 72: л: < 36 вводять у II класі. Однак ще в І класі виконують відповідну підготовчу роботу: включають вправи, в яких змінну позначають не буквою, а «віконечком» (квадратом), наприк­лад: П> 0, 6+4> П, 7+П< 10 і т. д. Учням пропонують підібрати таке число, щоб дістати правильний запис. Під час виконання та­ких вправ учитель повинен спонукати дітей до того, щоб вони під­ставляли різні числа; наприклад, у нерівності П> 0 можна підста­вити число 1 (1> 0), 2 (2> 0), З (3> 0) і т.д. Назвавши кілька чи­сел, корисно узагальнити спостереження (наприклад, у другій нерівності можна підставити будь-яке число, яке менше 10 — від 0 до 9).

Починаючи з II класу, змінну позначають буквою. Розглядаючи, наприклад, нерівність х+3< 10, учні способом добору знаходять, при яких значеннях букви х значення суми я+3 менше 10. Спочат­ку, щоб легше було добирати-числа, в кожному такому завданні дають множину чисел — значень змінної.

Учні підставляють значення букви у вираз, обчислюють значен­ня виразу і порівнюють його із заданим числом. Під час цієї роботи вибирають такі значення змінної, при яких задана нерівність буде

правильною.

Пізніше у вправах з нерівностями значення змінної не дають, учні самостійно добирають їх. Такі вправи, як правило, виконують під керівництвом учителя.

Можна ознайомити дітей з таким прийомом добору значень змінної в нерівності. Нехай дано нерівність 7∙ k < 70. Спочатку встановлюють, при якому значенні /г цей добуток дорівнює 70 (при & = 10). Щоб добуток був менший від 70, треба множник & взяти меншим від 10. Учні підставляють числа 9, 8 і т. д. до нуля, обчис­люють і порівнюють знайдені значення виразу із заданим (70) і на­зивають відповідь.

Терміни «розв'язати нерівності», «розв'язання нерівності» у по­чаткових класах не вводять, бо в багатьох випадках обмежуються тільки кількома значеннями змінної, при яких утворюється пра­вильна нерівність.

Вправи з нерівностями закріплюють обчислювальні навички, а також допомагають засвоєнню " арифметичних знань. Наприклад, підставляючи різні числові значення компонентів, діти нагромаджу­ють спостереження про зміну результатів дій залежно від зміни ' одного з компонентів. Тут уточнюють знання дітей про конкретний зміст кожної дії (так, підставляючи значення від'ємника, діти пере­конуються в тому, що від'ємник не більший від зменшуваного, і т. д.). Добираючи значення букви в нерівностях і рівностях виду: 5+д; = 5, 5—д: =5; 10-л: =10, 10-л; < 10, учні закріплюють знання про особливі випадки дій. Працюючи з нерівностями, учні закріп­люють уявлення про змінну і готуються до розв'язування нерівнос­тей у IV класі.