Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Свойства дисперсии.
|
|
1. Дисперсия суммы или разность двух и более взаимно независимых случайных величин всегда равна сумме дисперсии этих величин. Д(x±z±y)=Д(x)+Д(z)+Д(y).
2. Если С=const, то Д(С±z)=Д(z), Д(С× z)=С2× Д(z)
Среднеквадратическое отклонение σ, равное корню квадратному из дисперсии, имеет физический смысл. Для выяснения физического смысла σ введем величину: 
. Величина U характеризует отклонение z от μ в единицах σ.
Эта величина (u ) также имеет нормальное распределение с центром распределения равным нулю.
Подсчитаем вероятность W(Up) того, что случайное значение U=Up больше некоторой заранее заданной величины К.
Т.е. найти р(Up), для 
.
Вид нормального закона для вычисления полной вероятности
(3.1)
Выполним замену переменных:
, тогда 
, 
. Подставляя эти замены в уравнение (3.1) получим:
. Так как данная функция симметрична относительно центра распределения (т.е. относительно нуля), то:
Последнее уравнение разобьем в правой части на два слагаемых:
, необходимо помнить, что u> 0.
В полученном уравнении интеграл 
называется интегралом вероятности или функцией Лапласа .
Интеграл Фл(uр) – характеризует вероятность попадания величины u в симметричный интервал [-uр, uр].
Второе слагаемое оценивает вероятность W(Up) попадания величины u за пределы интервала [ -uр, uр ].
Величина функции Лапласа протабулирована.
.
Определим вероятность того, что случайная величина z будет отличаться от ее среднего значения μ на один, два и три стандарта.
При использовании 
.
Если 
, т.е отклонение z от μ равно одному стандарту, то u=1.
Только 31, 73% всех значений будут отличаться от μ больше чем на σ, только 4, 55% - больше чем на 2σ и только 0, 27% - больше чем на 3σ.
Так при 
При 
, т.е. при 
, вероятность 
, т.е. вероятность того, что при измерении 
равно 100%. С ростом 
вероятность его отклонения от μ более заданной точности резко уменьшается. Условно принимается, что вероятность 0, 27% является малой, и потому случайные отклонения больше, чем на 
, считаются невероятными.
Последнее позволяет сформулировать «Правило ». Если измеряемая величина имеет значение отличающееся от среднего более чем на , то результат не может быть объяснен действиями случайных факторов и связан с систематическими ошибками (т.е. имеет физическую причину) или является грубой ошибкой (промахом).
Рассмотрим методы оценки вероятности того, что данное измерение является промахом.
1. Метод исключения при известной σ.
Пусть проведено n измерений величины z: z1, z2, …, zn. Пусть один из результатов измерений z* резко отличается от остальных измерений. Надо оценить является ли z* промахом.
Считаем среднее арифметическое значение измеренных величин:
(z* в эту сумму не включаем)
Найдем разность: 
.
Подсчитаем: 
Сравним: 
т.е.
Рассчитаем интеграл вероятность Ф (t) по таблицам.
Определим вероятность 1-2 Ф (t).
Т.е. рассчитаем вероятность того, что t примет значение не меньшее
Если 1-2 Ф(t) окажется очень малой, то «выскакивающее» значение является грубой ошибкой для оценки уровня малых вероятностей используют один из трех уровней (например α):
5%-ый уровень (исключаются ошибки, вероятность появления которых меньше 0, 05);
1%-ый уровень (исключаются ошибки, вероятность появления которых меньше 0, 01);
0, 1%-ый уровень (исключаются ошибки, вероятность появления которых меньше 0, 001).
Т.е. если α =0, 01 и
1-2 Ф(t) < 0, 01, то значение z* можно считать грубой ошибкой с надежностью вывода 
Пример: Есть 41 независимое измерение со средней квадратической ошибкой 
. Из них есть 
- величина, рассматриваемая как промах. 
из остальных 40 измерений равно 6, 5.
Решение: 
; 
;
1-2 Ф (2, 72)=0, 0066< 0, 007
Следовательно с надежностью выхода 1-0, 07=0, 993
z* содержит грубую ошибку.
2. Метод исключения при неизвестной σ
Оценим σ по формуле:
т.н. эмпирический стандарт
. Полученное значение t-критерия сравнивают с критическим значением критерия Стьюдента tn(P), которое определяют из статистических таблиц. Если t > tn(P), то z* исключают как грубую ошибку.