Пример 26

Исследовать функцию на непрерывность. В точках разрыва установить характер разрыва. Схематично построить график функции

Функция задана тремя аналитическими выражениями, представляющими собой элементарные функции, которые непрерывны во всех точках, где они определены.

Функция всюду определена, функция определена на промежутке , функция не определена в точке , которая является точкой разрыва. Точками разрыва могут быть также точки , где происходит смена аналитического выражения функции.

Исследуем на непрерывность функцию в точке .

1. .

2. .

, .

3. .

В точке функция непрерывна.

Исследуем на непрерывность функцию в точке .

1. .

2. , .

Так как односторонние пределы в точке не равны между собой, предел функции в точке не существует. Однако односторонние пределы в этой точке существуют и конечны, поэтому - точка неустранимого разрыва I рода.

Определим характер разрыва функции в точке .

.

.

Так как односторонние пределы функции в точке бесконечны, точка - точка разрыва второго рода.

График функции, имеет следующий вид.

Исследовать функцию на непрерывность. В точках разрыва установить характер разрыва. Схематично построить график функции: