Тема 8. Основные законы распределения случайных величин

1. Биномиальный закон распределения

Дискретная случайная величина имеет биномиальное распределение (или распределена по биномиальному закону), если она принимает значения 0, 1, 2, …, с вероятностями .

Здесь – общее число испытаний, – число испытаний, в которых событие появилось, – вероятность появления события в каждом испытании, - вероятность непоявления события.

Ряд распределения выглядит так:

				...
			...

Пример 1. Банк выдает 5 кредитов. Вероятность невозврата кредита равна 0, 2 для каждого из заемщиков. Составить таблицу закона распределения количества заемщиков, не вернувших кредит по окончанию срока кредитования.

Решение. Пусть – число неоплаченных кредитов из 5 рассмотренных. Значения случайной величины 0, 1, 2, 3, 4, 5. Соответствующие вероятности вычисляются по формуле Бернулли.

Получаем следующий ряд распределения:

0, 32768	0, 4096	0, 2048	0, 0512	0, 0064	0, 00032

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по биномиальному закону, вычисляются по специальным формулам:

,

.

Пример 2. По условию предыдущей задачи найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение. Имеем ,

,

.

1. Распределение Пуассона

Случайная величина называется распределенной по закону Пуассона с параметром > 0, если может принимать значения 0, 1, 2, 3, …, , … и .

Здесь – число независимых испытаний (оно велико), – число появлений события в испытаниях, – вероятность появления события в каждом испытании (она очень мала), (среднее число появлений события в испытаниях).

Т.е. ряд распределения Пуассона выглядит следующим образом:

			...		...
		...		...

Распределение Пуассона является предельным для биномиального, когда , так, что – постоянно. Примерами случайных величин, имеющих распределение Пуассона, являются: число вызовов на телефонной станции за время t; число опечаток в большом тексте; число бракованных деталей в большой партии. При этом считается, что события появляются независимо друг от друга с постоянной средней интенсивностью, характеризующейся параметром .

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, вычисляются по формулам:

,

.

1. Геометрическое распределение

Геометрическое распределение встречается, когда производится ряд независимых попыток добиться какого-то результата, при каждой попытке результат достигается с вероятностью . Тогда вероятность того, что потребуется попыток для достижения результата, равна , где .

Случайная величина называется распределенной по геометрическому закону, если может принимать значения 0, 1, 2, 3, …, , … и .

Ряд распределения выглядит следующим образом:

					...
				...

Вероятности образуют геометрическую прогрессию , , , , … По этой причине распределение называется геометрическим.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по геометрическому закону, вычисляются по формулам:

,

.

Пример 3. Вероятность попадания в цель при отдельном выстреле для данного стрелка равна 0, 1. Найти математическое ожидание и дисперсию числа выстрелов по цели до первого попадания.

Решение. Случайная величина имеет геометрическое распределение с параметром .

, .

1. Равномерный закон распределения

Пусть случайная величина принимает значения из некоторого интервала и все значения равновозможны. Функция распределения имеет вид

Плотность вероятности задается формулой

Математическое ожидание равно ,

Дисперсия .

5. Показательный закон распределения

Плотность распределения случайной величины, распределенной по показательному закону, равна

Функция распределения

Математическое ожидание .

Дисперсия .

6. Нормальный закон распределения

Нормальное распределение является наиболее важным распределением непрерывных случайных величин. Множество явлений в практической жизни можно описать с помощью модели нормального распределения. Например:

распределение высоты деревьев;

площадей садовых участков;

массы людей;

дневной температуры и т.п.

Нормальное распределение используется и для решения многих проблем в экономической жизни. По нормальному закону распределяется, например,

число дневных продаж в магазине;

число посетителей универмага в неделю;

число работников в некоторой отрасли;

объемы выпуска продукции на предприятии и т.д.

Нормальное распределение находит широкое применение и для аппроксимации распределений дискретных случайных величин. Так, например, доходы от определенных видов рискованного бизнеса приблизительно подчиняются нормальному распределению. Нормальное распределение иногда называют «законом ошибок». Например, отклонение в размерах деталей от установленного объясняется многими причинами, каждая из которых влияет на размер детали, отклонение подчиняется нормальному закону распределения.

Плотность распределения нормальной случайной величины определяется по формуле

, .

и - параметры нормального распределения, , .

Функция распределения

,

где - интеграл вероятности, табличная функция.

Нормальное распределение с параметрами и называется нормированным (или стандартным); его плотность равна:

Функция нормированного нормального распределения имеет вид:

Т.к. функция является четной, то неопределенный интеграл от нее является нечетной функцией, и поэтому вместо функции используется функция Лапласа:

График плотности нормального распределения для разных значений показан на рис. 5

Вероятность попадания на интервал равна значению определенного интеграла от плотности вероятностей, в данном случае:

.

Преобразование этой формулы путем введения новой переменной интегрирования приводит к удобной вычислительной формуле:

,

где - функция Лапласа.

Пример 4. Магазин продает мужские костюмы. По данным статистики известно, что распределение по размерам является нормальным с математическим ожиданием 48 и средним квадратическим отклонением 2. Определить процент спроса на 50-й размер при условии разброса значений этой величины в интервале (49; 51).

Решение. По условию , Тогда

Следовательно, спрос на 50-й размер составит около 24% (0, 2417 100%), и магазину нужно предусмотреть это в общем объеме закупок.

Если интервал (или отрезок) симметричен относительно математического ожидания, т.е. , то формула вероятности попадания случайной величины в заданный интервал принимает вид

.

Особенно простыми эти формулы становятся, когда число кратно . Если кратность равна 3, то получаем «правило трех сигм»: практически все значения нормальной случайной величины находятся в промежутке .

В прикладных задачах, например, в математической статистике, при теоретическом изучении эмпирических распределений, отличающихся от нормального, возникает необходимость количественных оценок этих различий. Для этих целей введены специальные безразмерные характеристики.

Асимметрией теоретического распределения называется отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратического отклонения:

.

Эксцессом теоретического распределения называется величина, определяемая равенством:

,

где - центральный момент четвертого порядка.

Для нормального распределения А_s = E_k =0. При отклонении от нормального распределения асимметрия положительна, если «длинная» и более пологая часть кривой распределения расположена справа от точки на оси абсцисс, соответствующей моде; если эта часть кривой расположена слева от моды, то асимметрия отрицательна.

Эксцесс характеризует «крутизну» подъема кривой распределения по сравнению с нормальной кривой: если эксцесс положителен, то кривая имеет более высокую и острую вершину; в случае отрицательного эксцесса сравниваемая кривая имеет более низкую и пологую вершину.

Замечание. При использовании указанных характеристик сравнения предполагают, что для нормального и теоретического распределений совпадают математические ожидания и совпадают дисперсии.

Пример 5. Время ремонта телевизоров есть случайная величина , распределенная по показательному закону. Определить вероятность того, что на ремонт телевизора потребуется не менее 20 дней, если среднее время ремонта составляет 15 дней. Найти плотность вероятности, функцию распределения и среднее квадратическое отклонение случайной величины.

Решение. По условию , с другой стороны , поэтому и .

Плотность вероятности имеет вид:

,

функция распределения: (x .

Искомую вероятность можно найти, используя функцию распределения:

.

Ищем среднее квадратическое отклонение: дней.