Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Тема 11. Методы нахождения точечных оценок
|
|
- Метод моментов
При заданном виде закона распределения случайной величины 
неизвестные параметры этого распределения можно оценить, т.е. выразить как функцию выборки, на основе метода моментов.
Этот метод состоит в том, что приравниваются соответствующие теоретические и эмпирические моменты и из полученных уравнений находятся оценки параметров. В случае одного параметра в теоретическом распределении для его оценки достаточно составить одно уравнение. Если имеются два параметра в теоретическом распределении, то нужно приравнять соответственно два теоретических и эмпирических момента и т.д.
Для оценки двух параметров закона распределения запишем следующие равенства:
, 
,
где 
- начальный момент первого порядка закона распределения случайной величины или математическое ожидание;
- эмпирический момент первого порядка или выборочное среднее;
- центральный момент второго порядка закона распределения случайной величины или дисперсия;
- центральный эмпирический момент второго порядка или выборочная дисперсия.
Из полученной системы двух уравнений определяем неизвестные значения параметров.
В случае если неизвестен один параметр, то его оценку по методу моментов можно найти из одного уравнения
.
Пример 1. На предприятии изготавливается определенный вид продукции. Ежемесячный объем выпуска этой продукции является случайной величиной, для характеристики которой принят показательный закон распределения 
В течение шести месяцев проводился замер объемов выпуска продукции, получены следующие данные:
| Месяц | ||||||
| Объем выпуска |
Найти оценку параметра 
.
Решение. Так как закон распределения содержит лишь один параметр , то для его оценки требуется составить одно уравнение. Находим выборочное среднее:
Математическое ожидание случайной величины, распределенной по показательному закону, равно
.
Получаем следующее уравнение для нахождения неизвестного параметра :
.
Откуда находим оценку:
.
- Метод максимального правдоподобия
Метод максимального правдоподобия, применяемый для определения точечной оценки, опирается на использование условий экстремума функции одной или нескольких случайных величин. В качестве такой функции принимают функцию правдоподобия.
Для дискретной случайной величины функция правдоподобия принимает вид
,
где 
элементы выборки,
- параметр, для которого находится оценка,
— вероятность события 
зависящая от параметра .
Для непрерывных случайных величин функция правдоподобия выбирается в виде
где 
- заданная функция плотности вероятности в точках 
.
Так как функции 
и 
достигают максимума при одном и том же значении , то обычно точки экстремума находятся для . Для этого определяется производная 
и приравнивается к нулю. На основании достаточного условия (вторая производная должна быть отрицательна) можно убедиться, что полученная точка является точкой максимума.
Чаще всего метод максимального правдоподобия используется при биномиальном, пуассоновском, нормальном и показательном распределениях случайной величины.