Вариационное исчисление

Вариационное исчисление

Представление в комплексной плоскости предоставляет математическое описание для анализа и синтеза систем. Во-первых, введем комплексную переменную

, оператор Лапласа

где j - комплексная величина.

Преобразование по Лапласу преобразовывает любой временной сигнал (оригинал), ,

в сигнал комплексной области (изображение) X (s):

(1.1)

где функция X(s) называется " преобразование по Лапласу входного сигнала ".

Прямое преобразование символически обозначается как , может быть выполнено для любого сигнала , который удовлетворяет условию:

(1.2)

Когда сигнал X (s) определен, то его то его оригинал можно определить с помощью " обратного преобразования по Лапласу" :

(1.3)

where s is a real constant.

Каково объяснение преобразования по Лапласу? Те, кто помнит анализ Фурье, должны вспомнить, что это преобразование может рассматриваться как техника для представления непрерывно–временного сигнала комбинацией гармонических составляющих следующим образом:

, (1.4)

и преобразование Фурье , в основном определяет коэффициенты и для каждой частоты Точно так же преобразование по Лапласу, может рассматриваться как техника для представления сигнала x (t) временной области совокупностью экспоненциально затухающих гармонических составляющих:

, (1.5)

и, поэтому, преобразование по Лапласу определяет параметр затухания , и сдвиг по фазе для каждой частоты . Это, однако, не объясняет использование преобразование по Лапласу. Данное использование стало важным из–за множества свойств, которые являются чрезвычайно полезными, когда задача связана с линейными дифференциальными уравнениями высокого порядка.