От чего зависит вид свободных составляющих переходных токов и напряжений в цепях второго порядка.

Ответ: Рассчитать напряжение на конденсаторе и ток в катушке в схеме, приведенной на рис. 21, при закорачивании сопротивления , если В, Ом, Ом, Ом, мГн, мкФ.

Решение: 1. . Анализ цепи до коммутации: А, В. 2. Определение начальных условий.

По законам коммутации: А, В.

Для послекоммутационной цепи составим уравнения по законам Кирхгофа:

Из уравнения (6), записанного для момента , определим напряжение на катушке, а, решая совместно уравнения (5) и (7) для момента коммутации, найдем ток через конденсатор:

В,

А. Используя уравнения связи и , найдем скорости изменения тока на катушке индуктивности и напряжения на конденсаторе для момента времени Это будет являться необходимым условием для нахождения постоянных интегрирования:

А/с, (8) В/с. (9) 3. Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения, составленного для цепи после замыкания ключа, может быть представлено в виде: или .

4. .Определение принужденной составляющей: А,

В. 5. Определение свободной составляющей. Составим характеристическое уравнение по методу входного сопротивления. Для этого замыкаем накоротко источник эдс и размыкаем ветвь, содержащую конденсатор.

Схема для написания характеристического уравнения приведена на рис. 22. Рис. 22. Схема для написания характеристического уравнения в примере 5.1

Относительно разомкнутых зажимов определим сопротивление, заменяя элементы L на pL, С на 1/рС. После того как полученное уравнение приведем к общему знаменателю и числитель приравняем к нулю, уравнение примет вид:

или в приведенном виде: (10) Подставим в уравнение (10) численные значения:

Решая квадратное уравнение, найдем его корни:

Процесс носит колебательной характер, затухающий по экспоненциальному закону, а свободные составляющие примут вид:

,

, где коэффициент затухания; угловая частота собственных колебаний в контуре. 6. Определение постоянных интегрирования. Уравнения для определения свободных составляющих содержат по две постоянных интегрирования: – характеризует амплитуду искомой величины, – ее начальную фазу. Для нахождения необходимо решить систему уравнений:

Запишем эти уравнения для момента времени , учитывая (8), получим:

Из уравнения (12) выразим , а затем (11) разделим на (12), получим . Подставляя в (11) значение , определим

Уравнение для , А, имеет вид:

. Аналогично находятся – необходимо решить систему уравнений:

Для момента времени , учитывая, что В/с, получим:

Решая последнюю систему уравнений, найдем , Аu = –51, 49 В.

Уравнение для , В, имеет вид: .