Б) Несобственные интегралы от неограниченных функций.

Первая теорема сравнения. Пусть на отрезке функции и разрывны в точке , и для каждого выполняется неравенство . Тогда если сходится , то сходится и ; если расходится , то расходится и .

Вторая теорема сравнения. Пусть на отрезке функции и разрывны в точке , и пусть существует . Тогда:

1) Если , то и сходятся или расходятся одновременно.

2) Если , то из сходимости следует сходимость , а из расходимости следует расходимость .

3) Если , то из сходимости следует сходимость , а из расходимости следует расходимость .

Пример 4. Исследовать сходимость интеграла Эйлера—Пуассона .

Решение. . Первый интеграл в правой части сходится. При . Так как , то по первой теореме сравнения интеграл сходится.

Пример 5. Исследовать на сходимость интеграл .

Решение. Если , то . В качестве мажорирующей функции возьмем . Так как сходится, то сходится исходный интеграл.

Пример 6. Исследовать на сходимость интеграл .

Решение. Подынтегральная функция в промежутке интегрирования положительна и при стремится к бесконечности. Пользуясь теоремой об эквивалентных бесконечно малых, преобразуем числитель и знаменатель подынтегральной дроби. Имеем:

, , при .

Откуда получаем эквивалентность функций

.

По признаку сравнения можно исследовать , который сходится.

Поэтому сходится и исходный интеграл.