![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Методика составления уравнений колебаний экипажа.
Для составления уравнений колебаний применяются методы аналитической механики в обобщенных координатах. Напомним, что положение механической системы может определяться набором n независимых параметров, в минимальном числе, однозначно определяющих положение всех точек рассматриваемой системы и называемых обобщенными координатами системы qj (j=1,..., n). Число n называют числом степеней свободы механической системы. Дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах (уравнения Лагранжа второго рода) имеют, как известно из курса теоретической механики, следующий вид:
При составлении уравнений Лагранжа необходимо, прежде всего, записать кинетическую энергию системы в функции обобщенных координат и скоростей Кинетическая энергия системы твердых тел определяется как сумма кинетических энергий всех входящих в ее состав тел. Кинетическая энергия твердого тела определяется в зависимости от вида движения тела: а) при поступательном движении твердого тела:
vc – скорость центра масс тела. б) при вращении вокруг неподвижной оси
Jz – момент инерции тела относительно оси вращения; ω – угловая скорость вращения. в) при плоскопараллельном движении
Jcz – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, перпендикулярно плоскости движения. Рассмотрим механическую систему, состоящую из N материальных точек и имеющую n степеней свободы, на которую наложены голономные стационарные неосвобождающие связи. Предположив, что система имеет устойчивое положение равновесия, будем отсчитывать от этого положения обобщенные координаты В силу стационарности связей скорость k-й точки системы
где Тогда кинетическая энергия системы будет равна
где Как и Разлагая будем в силу малости колебаний учитывать только первый член разложения. Обозначим
Кинетическая энергия представляет собой однородную квадратичную форму обобщенных скоростей
В аналитической механике каждой обобщенной координате где
В общем случае сила Тогда обобщенные силы Qj могут быть представлены в виде (3.6) где
Составляющая обобщенной силы от потенциальных сил выражается через потенциальную энергию
Потенциальная энергия механической системы, на которую действуют силы тяжести и силы упругости определяется следующим образом: где N–число тел, входящих в систему, mi–массы тел, q–ускорение свободного падения, zci–вертикальные перемещения центров масс тел, N1–общее число упругих элементов в системе, cj–жесткости упругих элементов, λ k1, λ k0 – конечная и начальная деформации упругих элементов. При вычислении потенциальной энергии величины zci, λ k1 и λ k0 должны быть выражены через обобщенные координаты qj. Составляющая обобщенной силы от диссипативных сил выражается через диссипативную функцию Рэлея
Диссипативная функция Рэлея учитывает наличие в системе элементов, обусловленных силами вязкого трения. Вязкое сопротивление пропорциональное скорости относительных перемещений тел системы, возникает в гидравлических гасителях колебаний (демпферах). Функция Рэлея определяется следующим образом: где N2–число установленных демпферов, Потенциальную энергию системы Первый член в разложении равен нулю, поскольку потенциальную энергию и обобщенные координаты отсчитывают от положения равновесия; вторые члены в разложении также равны нулю, так как в положении равновесия потенциальная энергия системы имеет экстремум и, следовательно, Обозначим
то есть потенциальная энергия представляет собой квадратичную форму относительно обобщенных координат. Подставив выражение потенциальной энергии (3.9) в (3.7), получим составляющую обобщенной силы от потенциальных сил
Учитывая выражение для скорости (3.2), запишем диссипативную функцию Рэлея для системы с n степенями свободы Здесь коэффициенты
Так как диссипативная функция Рэлея уже содержит величины второго порядка малости (произведения обобщенных скоростей), то в разложении Обозначим
Функция Ф представляет собой неотрицательную квадратичную форму. Если же Ф является положительно-определенной квадратичной формой, то диссипация называется полной. Подставив выражение (3.11) в (3.8) получим составляющую обобщенной силы от диссипативных сил
С учетом полученных выражений для
|