Колебания системы с двумя степенями свободы.

В частном случае системы с двумя степенями свободы квадратичные формы Т, П, Ф будут соответственно равны

; (4.1)

; (4.2)

, (4.3)

а дифференциальные уравнения малых колебаний примут вид

(4.4)

Рассмотрим свободные колебания консервативной системы. В этом случае

и дифференциальные уравнения принимают вид:

(4.5)

Начальные условия для имеют вид:

(4.6)

В силу положительной определенности квадратичной формы кинетической энергии обобщенные инерционные коэффициенты удовлетворяют соотношениям

а аналогичные соотношения для квазиупругих коэффициентов

являются достаточными условиями устойчивости положения равновесия системы.

Коэффициенты и , связывающие в уравнениях (4.5) обобщенные координаты и , называют соответственно коэффициентами инерционной и упругой связи. Если в колебательной системе коэффициент , ее называют системой с упругой связью, а если – системой с инерционной связью.

Парциальной системой, соответствующей обобщенной координате , называют условную колебательную систему с одной степенью свободы, получаемую из исходной системы, если наложить запрет на изменение всех обобщенных координат, кроме . Парциальными частотами называют собственные частоты парциальных систем:

. (4.7)

Поскольку уравнения (4.5) содержат только обобщенные координаты и их вторые производные по времени, ищем их решение в виде

(4.8)

где – пока неопределенные величины.

Подставив (4.8) в (4.5) и приравняв коэффициенты при синусах, получим однородную алгебраическую систему относительно и :

(4.9)

Для того, чтобы однородная алгебраическая система (4.9) имела ненулевое решение, она должна быть вырожденной, т.е. ее определитель должен равняться нулю:

(4.10)

Следовательно, решение (4.7) будет иметь смысл только при тех значениях , которые удовлетворяют условию (4.9). Раскрывая (4.10), получаем

(4.11)

или

(4.12)

Уравнение, представленное в форме (4.10), (4.11) или (4.12) называют частотным. Как видно из (4.12) частотное уравнение – биквадратное уравнение. Найденные из (4.10)–(4.12) значения называют собственными частотами колебаний системы.

Исследование корней частотного уравнения позволяет сделать следующие выводы:

1) если положение равновесия устойчивое, то оба корня частотного уравнения положительны;

2) первая собственная частота системы всегда меньше меньшей парциальной частоты, а вторая – больше большей парциальной частоты.

Для колебательных систем с упругой связью ( = 0) справедливо равенство

(4.13)

Запишем два частных независимых решения, соответствующих частотам и , в виде

(4.14)

где вторая цифра в индексе соответствует номеру частоты, или номеру тона колебаний.

Константы не являются независимыми, так как система (4.9) вырожденная. Коэффициенты связаны между собой соотношениями

, где . (4.15)

, где . (4.16)

С учетом (4.15) и (4.16) частные решения (4.14) будут иметь вид

(4.17)

Колебания, уравнения которых имеют вид (4.17) называют главными колебаниями. Они представляют собой гармонические колебания с частотами и соответственно. Коэффициенты называют коэффициентами распределения амплитуд. Они характеризуют отношение амплитуд в главных колебаниях или форму главных колебаний.

Коэффициенты распределения амплитуд и, следовательно, формы главных колебаний, как и собственные частоты, определяются параметрами самой колебательной системы и не зависят от начальных условий. Поэтому формы колебаний называют, так же как и частоты, собственными формами колебаний при колебаниях по соответствующему тону.

Общее решение системы уравнений (4.5) может быть представлено как сумма найденных частных решений (4.17)

(4.18)

Общее решение содержит четыре неопределенные постоянные , которые должны определяться из начальных условий (4.6).

При произвольных начальных условиях обе константы и отличны от нуля. Это означает, что изменение во времени каждой обобщенной координаты будет представлять собой сумму гармонических колебаний с частотами и . А такие колебания являются не только не гармоническими, но в общем случае и не периодическими.

Рассмотрим случай свободных колебаний системы, когда собственные частоты колебаний системы и мало отличаются друг от друга:

.

Обозначим разность аргументов синусов в общем решении (4.18) уравнений свободных колебаний

. (4.19)

При величина , а с возрастанием времени эта зависимость из-за малости увеличивается очень медленно. Тогда

.

С учетом последнего равенства, общее решение уравнений свободных колебаний (4.18) может быть записано в виде:

(4.20)

В этих уравнениях

(4.21)

Так как выражения (4.21) зависят от и , а угол медленно изменяется с изменением времени, то рассматриваемые колебания (4.20) будут колебаниями с периодически изменяющейся амплитудой. Период изменения амплитуды в этом случае значительно больше периода колебаний (рис. 4.1). Если коэффициенты распределения амплитуд и имеют разные знаки, то максимуму соответствует минимум и наоборот. При усилении первого главного колебания интенсивность второго главного колебания уменьшается и наоборот, то есть энергия движения системы периодически оказывается как бы сосредоточенной то в одном, то в другом звене этой вибрирующей системы. Такое явление называют биением.

Возможен другой подход к решению задачи о свободных колебаниях системы – найти какие-то новые обобщенные координаты и называемые нормальными или главными, для которых при любых начальных условиях движение будет одночастотным и гармоническим.

Зависимость между обобщенными координатами и , выбранными произвольно, и главными координатами и можно выразить так:

(4.22)

где и – коэффициенты распределения амплитуд (коэффициенты формы). Можно показать, что переход от исходных координат к главным приводит квадратичные формы кинетической и потенциальной энергии к каноническому виду:

(4.23)

Здесь

Подставив полученные для и выражения (4.23) в уравнения Лагранжа второго рода, получим уравнения малых колебаний системы в главных координатах:

причем

Выразив из системы (4.22) и через и получим

(4.24)

Нормальные координаты находят широкое применение при решении задач о вынужденных колебаниях в случае произвольного возмущения, а также при решении задач о свободном движении в неконсервативных системах.

Рассмотрим случай, когда на механическую систему с двумя степенями свободы наряду с консервативными силами действуют силы сопротивления, пропорциональные скорости. Примем за обобщенные координаты системы главные координаты и . Выражения кинетической и потенциальной энергии будут иметь канонический вид:

Диссипативная функция, выраженная через главные координаты, является однородной квадратичной формой обобщенных скоростей и с постоянными коэффициентами:

Уравнения Лагранжа второго рода для рассматриваемой системы в случае свободных колебаний будут иметь вид:

(4.25)

Частное решение системы совместных линейных дифференциальных уравнений второго порядка имеет вид

(4.26)

Подставляя (4.26) в дифференциальные уравнения (4.25) и затем сокращая на , получим

(4.27)

Для того, чтобы эта система двух линейных уравнений имела относительно и отличные от нуля решения, ее определитель должен равняться нулю.

Раскрыв определитель получим уравнение для определения неизвестных показателей , называемое характеристическим уравнением

(4.28)

Так как и являются положительно определенными квадратичными формами, то их коэффициенты удовлетворяют неравенствам

На этом основании можно утверждать, что все коэффициенты характеристического уравнения (4.28) положительны.

Используя критерий Гурвица[1] можно показать, что вещественные части всех корней характеристического уравнения отрицательны, а поэтому колебания системы являются затухающими.