Парный T-тест. Процедура и необходимые условия.

Парный Т-тест – это еще одна разновидность задачи сравнения средних значений. Различие в том, что в данном случае сравниваются средние значения двух признаков, измеренных у одних и тех же респондентов. Например, при изучении эффективности средства для похудения можно измерять вес людей до приема средства и, скажем, после использования этого средства в течение недели. Средство будем считать эффективным, если в среднем вес после применения средства стал меньше, чем до его принятия. То есть, требуется сравнить средние значения.

Конечно, можно провести процедуру сравнения средних значений тем способом, о котором было только что рассказано. У нас есть две группы показателей (до и после приема средства), по ним вычислим средние значения, дисперсии, вычислим t-величину и проверим гипотезу. Однако такой метод не учитывает то, что измерялся вес одних и тех же людей. Мы так же могли бы сравнить средний вес двух разных групп людей, одна из которых уже неделю принимает средство, а другая еще не начинала.

Обратите внимание на то, что для того, чтобы сравнивать средние значения, оба признака должны иметь интервальную шкалу! Более того, размерности обоих признаков должны быть одинаковыми. То есть, мы не должны сравнивать килограммы и сантиметры, килограммы и граммы, штуки и сотни штук.

Процедуру парного Т-теста можно представить в виде следующей последовательности действий:

1) Для каждого респондента найдем разность значений сравниваемых признаков.

2) Тем самым мы получим новую случайную величину – разность. Если средние значения признаков равны, то среднее значение этой величины будет равно 0. Естественно, будет присутствовать и разброс значений этой новой величины.

3) Вычислим (т.е. оценим по выборке) среднее значение и стандартное отклонение этой разности. Скорее всего, среднее значение не будет равно 0, 00000.

4) Останется проверить гипотезу: «среднее значение разности равно 0», т.е. то, что наблюдаемое среднее значение разности признаков можно объяснить только статистическим разбросом значений. Для проверки вычисляем t-величину, которая в данном случае выглядит так: .

В числителе этой формулы стоит среднее значение разности признаков, а в знаменателе - стандартное отклонение этой разности, деленное на квадратный корень из числа опрошенных.

5)Такая t-величина в случае, если в популяции среднее значение разности равно 0, имеет t-распределение Стьюдента с числом степеней свободы, равным N-1. Ищем число степеней свободы, выбираем уровень значимости (например, 0, 05) и находим критическое значение t_крит. Сравниваем экспериментальное значение t с критическим. Если t > t_крит., отвергаем гипотезу о том, что среднее значение разности равно 0, а если нет – принимаем ее. То есть, если t> t_крит., считаем, что средние значения признаков различны, а если если t< t_крит., считаем их равными.

ПРИМЕР ПРОВЕРКИ РАВЕНСТВА СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ ДВУХ ПРИЗНАКОВ.

Пусть требуется проверить, изменилась ли зарплата москвичей за год. Опросили 6 москвичей. (Это учебный пример, у нас так мало наблюдений только для удобства вычислений). Каждого москвича спрашивали, какова сейчас его зарплата и какова была его зарплата год назад. Данные этого опроса представлены в таблице:

Вычисляем разность. Для 1-го москвича она равна 120-100=20 отн. единиц. В итоге имеем таблицу:

Вычисляем среднее значение разности:

Стандартное отклонение этой разности равно:

Вычисляем t-величину:

Эта величина имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы d=6-1=5.

Выбираем критическое значение уровня значимости α =0, 05. По таблице или с помощью функции Excel СТЬЮДРАСП находим для t=1, 933 и d=5 экспериментальную величину уровня значимости α =0, 1109. Сравниваем эту величину с выбранным нами уровнем α =0, 05. Поскольку экспериментальное значение α =0, 1109 больше 0, 05, мы считаем, что зарплата москвичей за год не изменилась. Кстати, если Вы посмотрите на данные из этого примера, Вам, скорее всего, покажется, что мы ошиблись, потому что у 5 из 6 москвичей зарплата в данном примере стала больше. На самом деле этот пример иллюстрирует то, что такого малого количества опрошенных оказалось недостаточно, чтобы подтвердить данный факт, эта разность оказалась статистически не значима.

Можно было проверять гипотезу и в другой последовательности. Для выбранного нами α =0, 05 по таблице t-распределения с 5 степенями свободы можно определить критическое значение t_крит=2, 57 и сравнить его с экспериментальным значением 1, 933. Поскольку t_эксп< t_крит, делаем тот же вывод: средние зарплаты считаем равными.