Коэффициент контингенции. Кэффицент Юла. Коэффициенты детерминации.

Для данной задачи требуется два вопроса, каждый из которых измеряется по дихотомической шкале, то есть имеет только два фиксированных варианта ответа. Для простоты мы будем считать, что эти варианы ответа - «Да» и «Нет». Нетрудно понять, что другие варианты ответа (например, «белый» и «черный») можно тоже свести к ответам «да» и «нет» («да, является белым» и «нет, не является белым»). Всех респондентов, ответивших на два дихотомических вопроса, всегда можно разделить на 4 группы (обозначим их a, b, c и d). В группу a входят ответившие «Да» на оба вопроса, в группу b – ответившие «нет» на 1-й вопрос и «да» на 2-й вопрос, в группу c – ответившие «да» на 1-й вопрос и «нет» на 2-й, в группу d – ответившие «нет» на оба вопроса. Обозначим буквами a, b, c и d число человек в каждой группе и перепишем результаты опроса в следующую таблицу сопряженности:

Простейшим коэффициентом связи номинальных признаков является коэффициент ассоциации Юла. Он вычисляется по следующей формуле: .

Вычислим в качестве примера коэффициент Юла для опроса, данные которого представлены в следующей таблице:

Коэффициент Юла может принимать значения от -1 до 1. Коэффициент Юла не может быть по модулю больше 1, потому что сумма, стоящая в знаменателе всегда по модулю больше разности, стоящей в числителе. Коэффициент Юла близок к 1 тогда, когда в таблице произведение a и d значительно больше произведения b и c. А это наблюдается тогда, когда респонденты при ответе «Да» на первый вопрос выбирают ответ «да» и на второй вопрос, а если отвечают на первый вопрос «нет», то на второй вопрос они тоже отвечают «нет». То есть, когда наблюдается 100%-ная положительная связь (если да, то да, а если нет, то нет). Коэффициент Юла близок к -1 тогда, когда, наоборот, произведение b и с значительно больше, чем произведение a и d. Эта ситуация возникает тогда, когда при ответе «Да» на первый вопрос респонденты, как правило, на второй вопрос отвечают «нет», а при ответе «нет» на первый вопрос респонденты выбирают на ответ второй вопрос «да». То есть, связь есть, но она отрицательная. Связь отсутствует тогда, когда коэффициент Q равен 0, например, в ситуации, когда a=b=c=d, или когда a=b и c=d, или когда a=c и b=d. Обычно наличие связи считается установленным, если коэффициент Юла по модулю больше 0, 5

Другим коэффициентом, который можно вычислить для определения силы связи двух дихотомических признаков, является коэффициент контингенции. Он вычисляется по следующей формуле: . Этот коэффициент может изменяться также в пределах от -1 до 1. При отсутствии связи значение коэффициента контингенции близко к 0. Величина коэффициента контингенции всегда меньше по модулю, чем величина коэффициента Юла. Обычно считается, что связь есть, если величина коэффициента контингенции по модулю больше 0, 3. В нашем примере

Коэффициент Юла равен 1 тогда, когда значение только одной ячейки равно нулю. Это было бы, например, если в нашем примере не встретилось пьющих, но не курящих (с=0). Это обозначало бы, что если человек пьет, то он обязательно курит. А если он не пьет, он может как курить, так и не курить. Тем не менее, значение Q указывает на 100%-ю связь. Поэтому говорят, что коэффициент Юла измеряет силу односторонней связи. Коэффициент контингенции в данном примере будет меньше 1. Он будет равен 1 только если равны нулю будут и b, и c. Поэтому считается, что коэффициент контингенции измеряет силу двусторонней связи.

Чтобы нагляднее продемонстрировать наличие или отсутствие связей, можно в ячейки таблице сопряженности записывать не количество ответов, а различные проценты. Это, например, могут быть проценты от общего числа людей, выбравших данный вариант ответа на один из вопросов. Перепишем таблицу сопряженности из примера, разобранного выше, в процентах по вопросу «курю - не курю»:

Суммы по строке при такой записи везде должны получаться равными 100%. По процентам видно, что среди курящих в данной выборке оказалось 40% пьющих, а среди не курящих – 66, 7%. Если бы связи не было, процент пьющих среди курящих и не курящих оказался бы одинаков.

Аналогичные проценты можно вычислить и по столбцам, т.е. от числа людей, выбравших данный вариант ответа на 2-й вопрос. В 1-й ячейке тогда этот процент будет равен 40/(40+80)=33, 3%. Остальные проценты вычислите самостоятельно.

Те же методы, в том числе и вычисление процентов по строке и по столбцу, можно использовать и в таблицах сопряженности с размерностями большими, чем 2х2. Однако вычисление коэффициентов Юла и контингенции в этих случаях возможно только после сведения таблицы к виду 2х2, например, таким образом:

Приведу еще несколько примеров того, как могут выглядеть таблицы сопряженности в случаях, когда связь существует и когда ее нет.

В левых трех таблицах связи между признаками нет, а в правых трех связь существует. Чтобы в этом убедиться, вычислите проценты по строке для всех таблиц.