Парная и множественная модель рентабельности собственного капитала

Рассмотрим влияние факторов на рентабельность собственного капитала при помощи парной и множественной модели, где у - рентабельность собственного капитала, %; х₁- рентабельность продаж, тыс. руб.

Для расчета параметров уравнения линейной функции строим расчетную таблицу 5.

Таблица 5 - Данные и показатели для расчета параметров

Для расчета значений параметров нам понадобятся:

и .

Линейная функция сводится к нахождению параметров уравнения вида:

y_x = a + b x (1)

Уравнение данного вида позволяет по заданным фактическим значениям фактора x иметь теоретические значения результативного признака.

Для оценки параметров a и b используем систему (2) нормальных уравнений:

(2)

Подставим данные из таблицы 5, тогда система нормальных уравнений примет следующий вид:

Решая систему нормальных уравнений либо методом последовательного исключения переменных, либо методом определителей найдем искомые оценки параметров a и b. Можно воспользоваться следующими готовыми формулами (3):

где — ковариация признаков; — дисперсия признака х.

Подставим данные в формулы:

Используя полученные параметры a и b получим следующее уравнение регрессии:

y_х = 0, 29 + 0, 41· x

Коэффициент регрессии b показывает, что при увеличении рентабельности продаж на 1%, рентабельность собственного капитала увеличится в среднем на 0, 41%.

Тесноту линейной связи оценим с помощью коэффициента корреляции. Для этого сначала найдем среднеквадратические отклонения х и у по формулам:

По шкале Чеддока можно сказать, что связь между рентабельностью продаж и рентабельностью собственного капитала является очень сильной.

Коэффициент детерминации равен:

Мы получили, что 93, 66% вариации результативного признака (рентабельность собственного капитала, %) объясняется полученным уравнением регрессии, т.е. фактором рентабельность продаж, %. Только на 6, 34% оставшейся вариации уровня рентабельности собственного капитала приходятся прочие неучтенные в модели факторы.

Для расчета средней ошибки аппроксимации построим расчетную таблицу 6.

Таблица 6 - Вспомогательная таблица для расчета статистических величин

Определим качество модели через среднюю ошибку аппроксимации:

Качество модели можно оценить как плохое, т. к. `А превышает 8-10%.

Оценим значимость уравнения в целом с помощью F-критерия:

Определим критическое значения критерия по таблице при F_кр(m; n-m-1; a); F_кр(1; 4; 0, 05)=7, 71

Так как F_{факт >} F_кр, то с вероятностью 95% можно утверждать, что уравнение регрессии является статистически значимым и гипотезу Н₀ о случайном характере связи следует отклонить.

Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью t-статистики Стьюдента, для этого определим стандартную ошибку для каждого параметра. Для того, чтобы рассчитать данные показатели, используем данные таблицы 7.

Таблица 7 – Вспомогательная таблица для расчета стандартных ошибок

Годы
	-2, 31	5, 34	9, 99	99, 80
	-0, 59	0, 35	8, 46	71, 57
	0, 40	0, 16	-16, 59	275, 23
	-0, 58	0, 34	-2, 79	7, 78
	2, 23	4, 98	16, 36	267, 65
	0, 45	0, 20	-15, 43	238, 1
∑	-0, 40	11, 36	0, 00	960, 12

Определим случайные ошибки m_b, m_a, m_r:

Тогда получим:

Найдем фактическое значение критерия t_кр(n-m-1; a); t_кр(4; 0, 05)=2, 78.

Так как t_b> t_кр, то с вероятностью 95% можно утверждать, что параметр b является статистически значимым и гипотезу H₀ о равенстве его нулю следует отклонить.

Так как t_a< t_кр, то с вероятностью 95% можно утверждать, что параметр a статистически не значим и гипотезу H₀ о равенстве его нулю следует принять.

Так как t_r> t_кр, то с вероятностью 95% можно утверждать, что коэффициент корреляции r статистически значим и гипотезу H₀ о равенстве его нулю следует отклонить.

Найдем прогнозное значение рентабельности собственного капитала, подставив предполагаемое значение рентабельности продаж в уравнение регрессии при условии: x_пр = 18, 52 · 1, 1 = 20, 37, тогда y_пр = 0, 29+0, 41 · 20, 37 = 8, 64%.

Таким образом, прогнозный уровень рентабельности собственного капитала при предполагаемом значении рентабельности продаж составит 8, 64%.

Оценим качество прогноза, для этого рассчитаем ошибку прогноза и найдем доверительный интервал.

Найдем ошибку прогноза по следующей формуле:

Доверительный интервал имеет вид:

y_пр - t_крm_Ух £ у_{х пр} £ у_пр + t_крm_Ух

Для того, чтобы рассчитать доверительный интервал, найдем значение

t_кр(n-m-1; α), тогда t_кр(6-1-1; 0, 05)=2, 78

8, 64 – 2, 78·3, 07 £ у_{х пр} £ 8, 64+2, 78·3, 07

0, 11 £ у_{х пр} £ 17, 17

Следовательно с вероятностью 95% можно утверждать, что уровень рентабельности собственного капитала (у_пр) находится в интервале от 0, 11 до 17, 17.

Рассмотрим множественную регрессию, когда в качестве второго фактора будет выступать собственный капитал, тогда получим:

у – рентабельность собственного капитала, %;

х₁ – рентабельность продаж, %;

х₂ – коэффициент оборачиваемости активов.

Логарифмическое уравнение множественной регрессии представляет собой следующий вид: у=a+b₁x₁+b₂x₂

Для нахождения его параметров решим систему из трех уравнений, воспользовавшись данными из таблицы 8.

Таблица 8 – Исходные данные для расчета параметров

№ года	y	x1	x2	y·x1	y·x2
	16, 78	36, 64	0, 46	615, 00	7, 69	1342, 50	0, 21	16, 78	281, 73
	14, 51	36, 08	0, 40	523, 56	5, 84	1301, 69	0, 16	14, 51	210, 58
	12, 37	26, 48	0, 47	327, 46	5, 78	700, 95	0, 22	12, 37	152, 98
	5, 64	15, 58	0, 36	87, 88	2, 04	242, 68	0, 13	5, 64	31, 82
	7, 55	16, 95	0, 45	127, 92	3, 36	287, 39	0, 20	7, 55	56, 94
	2, 01	4, 33	0, 46	8, 71	0, 93	18, 76	0, 22	2, 01	4, 05
	14, 29	28, 51	0, 50	407, 54	7, 16	813, 02	0, 25	14, 29	204, 28
	11, 94	26, 98	0, 44	322, 19	5, 29	727, 99	0, 20	11, 94	142, 60
	0, 68	1, 93	0, 35	1, 31	0, 24	3, 74	0, 12	0, 68	0, 46
	7, 32	15, 73	0, 47	115, 22	3, 41	247, 45	0, 22	7, 32	53, 65
	12, 36	34, 88	0, 35	431, 10	4, 38	1216, 48	0, 13	12, 36	152, 78
	1, 11	3, 09	0, 36	3, 43	0, 40	9, 55	0, 13	1, 11	1, 23
Сумма	106, 57	247, 18	5, 07	2971, 33	46, 52	6912, 20	2, 18	106, 57	1293, 11
Среднее	8, 88	20, 60	0, 42	247, 61	3, 88	576, 02	0, 18	8, 88	107, 76

Система нормальных уравнений составит:

Решаем данную систему уравнений методом определителей: определитель системы равен:

772, 92

-4993, 05

314, 93

12710, 68

Найдем теперь сами параметры:

Получим уравнение регрессии:

При увеличении рентабельности продаж на 1% уровень рентабельности собственного капитала увеличится в среднем на 0, 41% при неизменности коэффициента оборачиваемости активов.

При увеличении коэффициента оборачиваемости активов на единицу, рентабельность собственного капитала увеличится в среднем на 16, 45% при том же уровне рентабельности продаж.

На основе построенной модели спрогнозируем уровень результативного показателя на два года вперед при условии:

1 год: х_пр1=1, 15*20, 6=23, 69 х_пр2=1, 15*0, 42=0, 48

у_пр1=-6, 46+0, 41*23, 69+16, 45*0, 48=11, 15%

2 год: х_пр1=1, 30*20, 6=26, 78 х_пр2=1, 30*0, 42=0, 55

у_пр1=-6, 46+0, 41*26, 78+16, 45*0, 55=13, 57%

Таким образом, в первом прогнозируемом году рентабельность собственного капитала составит 11, 15%, если рентабельность продаж будет равна 23, 69%, а коэффициент оборачиваемости активов – 0, 48. Во втором прогнозируемом году рентабельность собственного капитала будет равна 13, 57%, если рентабельность продаж составит 26, 78%, а коэффициент оборачиваемости активов – 0, 55.

Найдем множественный коэффициент корреляции. Для этого рассчитаем парные коэффициенты корреляции:

Следовательно, коэффициент множественной корреляции составит:

Показатель корреляции показывает на наличие очень сильной связи между факторами и результатом.

Значение коэффициентов парной корреляции указывают на сильную связь рентабельности собственного капитала с рентабельностью продаж – х₁, и на умеренную связь с коэффициентом оборачиваемости активов – х₂. Но в то же время r_x1x2 =0, 27 указывает на отсутствие коллинеарности между факторами.

Скорректированный коэффициент корреляции рассчитаем по формуле:

Скорректированный коэффициент корреляции немного уменьшил обычный показатель корреляции, сделав поправку на число степеней свободы.

Коэффициент детерминации равен

Зависимость у от х₁ и х₂ характеризуется сильной связью, в которой 98% вариации у определяется вариацией учтенных в модели факторов. Прочие факторы, не включенные в модель, составляют соответственно 2% от общей вариации у.

Рассчитаем частные коэффициенты корреляции первого порядка зависимости у от х₁ и х₂:

При закреплении фактора x₂ на постоянном уровне корреляция у и х₁ оказывается несколько выше (0, 99 против 0, 98).

При закреплении фактора x₁ на постоянном уровне корреляция у и х₂ оказывается ниже (0, 2 против 0, 44).

Показатели частной корреляции не сильно отличаются от обычных парных коэффициентов корреляции – это связано с тем, что связь между факторами слабая неколлинеарная, поэтому в чистом виде степень тесноты связи у совпадает со значением коэффициентов парной корреляции.

Для характеристики относительной силы влияния х₁ и х₂ на у рассчитаем частные средние коэффициенты эластичности (26):

При увеличении рентабельности продаж на 1% от ее среднего уровня рентабельность собственного капитала возрастет на 0, 95% от своего среднего уровня, а рост коэффициента оборачиваемости активов на 1 увеличит рентабельность собственного капитала на 0, 78% от своего среднего уровня. Мы видим, что сила влияния рентабельности продаж – x₁ на рентабельность собственного капитала оказалась несколько большей, чем сила влияния себестоимости – х₂.

Значимость уравнения оценим через общий F- критерий Фишера:

Табличное значение критерия при условии F_кр(m; n-m-1; α) будет равно

F_кр(2; 9; 0, 05)=4, 26.

Так как F_факт> F_кр, то с вероятностью 95% можно утверждать, что уравнение является статистически значимым и гипотезу H₀следует отклонить.

Для анализа существенности каждого фактора в модели используем частные F-критерии Фишера и оценку значимости каждого из параметров уравнения.

Найдем частные F-критерии Фишера по формулам:

Табличное значение F-критерия при условии F_кр(1; n-m-1; α) будет ровняться F_кр(1; 9; 0, 05)=5, 12

Так как F_{част х1}> F_кр, то с вероятностью 95% можно утверждать, что фактор x₁ является статистически значимым и его целесообразно включить после фактора x₂.

Так как F_{част х2}> F_кр, то с вероятностью 95% можно утверждать, что фактор x₂ является статистически значимым и его целесообразно включить после фактора x₁.

Теперь проведем анализ с учетом значимости коэффициентов регрессии. Для этого вычислим t-критерии коэффициентов b₁ и b₂.

По таблице критических значений находим t_кр(n-m-1; α)= t_кр(9; 0, 05)=2, 26.

При сравнении фактических значений критерия Стьюдента с критическим получим, что коэффициенты b₁ и b₂ являются статистически значимыми. Это утверждение верно с вероятностью 95%. Поэтому фактор х₂, силу которого оценивает b₂, нельзя исключить как несущественно влияющий на результат.

Таким образом, обе проверки дали одинаковый результат. Общий вывод состоит в том, что множественная модель с факторами х₁ и х₂ не содержит неинформативных факторов. Построенная модель является хорошо детерминированной и пригодной для анализа и прогноза.

Так же данные показатели можно рассчитать автоматизировано с использованием пакета MS Excel. С помощью данной программы мы получили результаты корреляционно-регрессионного анализа (Приложение А), которые не сильно отличаются от рассчитанных в данном пункте, небольшие погрешности связаны с округлением.