![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Часть III. Электричество и магнетизм
ЭЛЕКТРОСТАТИКА Тема 1. Теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля Электростатическое поле – это особый вид материи, с помощью которой происходит взаимодействие заряженных тел. Точечным называется заряд, сосредоточенный на теле, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстоянием до других заряженных тел, с которыми он взаимодействует. Закон Кулона: сила взаимодействия F между двумя неподвижными точечными зарядами q 1 и q 2 прямопропорциональна величинам этих зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними:
где e – диэлектрическая проницаемость среды, показывающая во сколько раз сила взаимодействия зарядов в данной среде меньше, чем в вакууме. Кулоновская сила Для обнаружения и опытного исследования электростатического поля можно использовать пробный точечный заряд q 0 . Если этот заряд поместить в какую- либо точкуэлектростатического поля, то на него будетдействовать сила Напряженность электростатического поля в данной точке есть физическая величина
Напряжённость электростатического поля, создаваемого точечным зарядом q в любой точке поля, находящейся на расстоянии r от этого заряда:
Рис. 1 Рис. 2 Если поле создается точечным зарядом, то силовые линии – это радиальные прямые, выходящие из положительного заряда (рис. 2, а), и входящие в отрицательный заряд (рис. 2, б). С помощью силовых линий можно характеризовать не только направление, но и величину напряженности электростатического поля, связывая её с густотой силовых линий. Большей густоте силовых линий соответствует большая величина напряженности (рис. 1, 2). Количественно числу силовых линий, пронизывающих единичную площадку, расположенную перпендикулярно силовым линиям, ставится в соответствие величина напряженности электростатического поля. В этом случае определенному заряду q, создающему поле, соответствует определенное число N силовых линий, выходящих (для Поток вектора напряженности электростатического поля Если площадка S перпендикулярна силовым линиям (рис. 3), то поток ФЕ вектора напряженности
Рис. 3 Рис. 4
![]()
где α – угол между векторами напряженности
![]() ![]() а затем все эти элементарные потоки dФЕ сложить, что приводит к интегрированию:
![]() ![]() Если ввести вектор
Теорема Остроградского - Гаусса для электростатического поля. Теорема Остроградского - Гаусса для электростатического поля связывает между собой величину потока ФЕ вектора напряженности электростатического поля в вакууме через произвольную замкнутую поверхность S с величинойзаряда q, заключенного внутри данной замкнутой поверхности S (рис. 6).
![]() ![]() ![]() ![]()
Это соотношение есть теорема Остроградского-Гаусса дляэлектростатического поля. Таккак поток считается положительным, если силовые линии выходят из поверхности S, и отрицательным для линий, входящих в поверхность S, то в случае, если внутри произвольной замкнутой поверхности S находится не один, а несколько (n) разноименных зарялов, то теорема Остроградского - Гаусса для электростатического поля формулируется следующим образом: поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на e0:
В общем случае электрические заряды могут быть распределены внутри объёма, ограниченного замкнутой поверхностью S, с некоторой объемной плотностью В таком случае теорема Остроградского - Гаусса приобретает вид:
Напряженность электростатического поля зависит от диэлектрических свойств среды. В диэлектрике напряженность поля меньше, чем напряженностьвнешнего электростатического поля в вакууме, в котором находится диэлектрик, в e раз (e – диэлектрическая проницаемость среды), а модуль вектора Вектор электрического смещения Используя то, что в вакууме
то есть поток вектора смещения В случае, если электрические заряды распределены внутри объёма V, ограни-ченного замкнутой поверхностью S, с некоторой объемной плотностью
Тема 2. Работа сил электростатического поля. Потенциал Если в электростатическом поле, создаваемом точечным зарядом q, перемещается другой пробный заряд q 0из точки 1 в точку 2 вдоль произвольной траектории (рис. 7), то при этом совершается работа сил электростатического поля.
Из рисунка 7 видно, что Тогда
то есть работа при перемещении заряда из точки 1 в точку 2 в электростатическом поле не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной (1) и конечной (2) точек, то есть электростатическое поле точечного заряда является потенциальным. Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда q 0из точки 1 в точку 2, выражается следующим образом:
где φ 1 и φ 2 – потенциалы электростатического поля в точках 1 и 2. Потенциал электростатического поля определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной С, то есть для поля точечного заряда q:
Тогда
Разность потенциалов двух точек 1 и 2 в электростатическом поле определяется работой
Если считать, что при удалении на бесконечность потенциал электростатического поля обращается в нуль (φ ∞ =0), то потенциал φ 1 в данной точке поля можно определить следующим образом:
то есть потенциал j в данной точке поля равен работе сил электростатического поля при перемещении точечного положительного единичного заряда из данной точки поляна бесконечность. Циркуляцией вектора напряженности
Для того, чтобы найти циркуляцию вектора напряженности Однако для электростатического поля циркуляция вектора напряженности
С одной стороны, эта работа равна:
а с учетом того, что
С другой стороны, эта работа может быть определена с помощью формулы:
из которой следует, что для произвольного замкнутого контура эта работа равна нулю, так как
Величина
Полученное соотношение является признаком потенциального силового поля. Обращение в нуль циркуляции вектора Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля Напряженность
Знак минус в приведенной формуле означает, что вектор напряженности Для графического изображения распределения потенциала электростатического поля используются эквипотенциальные поверхности, то естьповерхности, во всех точках которых потенциал j имеет одно и то же значение.
![]() ![]() Это свойство нормального взаимного расположения силовых линий и эквипотенциальных поверхностей поля является общим для любых случаев электростатического поля. То есть, зная расположение силовый линий электростатического поля, можно построить эквипотенциальные поверхности и, наоборот, по известному расположению эквипотенциальных поверхностей можно построить силовые линии электростатического поля. Магнитное поле Тема 3. Магнитное поле. Закон Био-Савара-Лапласа Электрический ток создает поле, действующее на магнитную стрелку. Стрелка ориентируется по касательной к окружности, лежащей в плоскости, перпендикуляной к проводнику с током (рис. 9). Основной характеристикой магнитного поля является вектор индукция По аналогии с электрическим полем, магнитное поле также может быть изображено графически с помощью силовых линий (линий индукции магнитного поля). Силовая линия – это такая линия, касательная к которой в каждой точке совпадает по направлению с вектором индукции
Рис. 9 Для нескольких источников магнитного поля согласно принципу суперпозиции магнитных полей индукция результирующего магнитного поля равна векторной сумме индукций всех отдельных магнитных полей:
Вектор индукции Закон Био-Савара-Лапласа в векторной форме:
![]() где
Направление вектора В скалярном виде закон Био-Савара-Лапласа:
Магнитное поле линейного тока. Для нахождения индукции В произвольной точке М, удаленной от оси проводника на расстояние b (рис. 11), векторы
По закону Био-Савара-Лапласа модуль вектора магнитной индукции
В качестве переменной интегрирования выберем угол Из рисунка 11 следует, что Тогда
Из прямоугольного треугольника DOM:
Следовательно, индукция dB, создаваемая элементом проводника dl с током I:
Теперь можно перейти к интегрированию:
Так как угол
Следовательно,
Магнитное поле в центре кругового проводника с током. Для нахождения индукции магнитного поля в центре кругового проводника с током необходимо разбить этот проводник на элементы
![]() По закону Био-Савара-Лапласа модуль вектора
Так как все элементы Тогда выражение для модуля вектора
Теперь для нахождения модуля вектора
Следовательно, индукция магнитного поля B в центре кругового проводника радиусом R с током I:
Тема 4. Действие магнитного поля на проводник с током (закон Ампера) и на движущийся заряд (сила Лоренца) Закон Ампера. На элемент проводника
![]() ![]() где Направление вектора
Сила Лоренца. На заряд q, движущийся со скоростью Модуль вектора где α – угол между векторами
![]() ![]() Тема. 5. Магнитный поток. Теорема Гаусса для магнитного поля Поток вектора магнитной индукции вектора индукции
Рис. 15 Рис. 16 Если площадка S расположена неперпендикулярно силовым линиям магнитного поля (рис. 16), то поток ФB вектора индукции
где α – угол между векторами
![]() ![]() ![]() ![]() где α – угол между векторами
Тогда поток вектора
Теорема Гаусса для магнитного поля
![]()
С другой стороны, число линий магнитной индукции, входящих внутрь объема, ограниченного этой замкнутой поверхностью, равно числу линий, выходящих из этого объема (рис. 18). Поэтому, с учетом того, что поток вектора индукции
что составляет формулировку теоремы Гаусса для магнитного поля.
Тема. 6. Явление электромагнитной индукции. Закон Фарадея Явление возникновения электрического тока в замкнутом проводящем контуре в результате изменения магнитного потока, пронизывающего этот контур, называется явлением электромагнитной индукции. Возникновение индукционного электрического тока в контуре указывает на наличие в этом контуре электродвижущей силы, называемой электродвижущей силой (ЭДС) электромагнитной индукции. Согласно закону Фарадея, величина ЭДС электромагнитной индукции величина ЭДС электромагнитной индукции
Направление индукционного тока в контуре определяется по правилу Ленца: индукционный ток в контуре всегда имеет такое направление, что создаваемое этим током магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, вызвавшему этот индукционный ток. Закон Фарадея с учетом правила Ленца можно сформулировать следующим образом: величина ЭДС электромагнитной индукции
Тема 7. Циркуляция вектора магнитной индукции Циркуляцией вектора магнитной индукции
Для того, чтобы найти циркуляцию вектора магнитной индукции Однако циркуляцию вектора Теорема о циркуляции вектора
где n – число проводников с токами, охватываемых контуром L. Положительным считается ток, направление которого образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему; ток противоположного направления считается отрицательным. Величина
Магнитное поле претерпевает изменения при переходе из одного вещества в другое, что определяется магнитными свойствами вещества, которые характеризуются величиной магнитной проницаемости среды (m). Кроме вектораиндукции
где m 0 – магнитная постоянная, m – магнитная проницаемость среды. Поскольку для вакуума m = 1, то с учетом приведенного соотношения может быть получена циркуляция вектора напряженности
то есть циркуляция вектора Сравнивая векторные характеристики электростатического (
|