Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Проекція вектора на вісь. Координати вектора
|
|
Віссю називається спрямована пряма. Напрямок прямої на малюнку зазвичай позначають стрілкою. Заданий напрямок вісі вважається позитивним, протилежний до нього – від'ємним. Вісь Ох однозначно визначається одиничним вектором 
, (
), напрямок якого зібгається з напрямком вісі Ох.
Такий вектор 
називається ортом вісі Ох.
Кутом між вектором 
і віссю Ох називається кут φ між векторами і .
Проекцією точки А на вісь Ох називається точка А1 перетину цієї вісі з площиною, яка проходить через дану точку А перпендикулярно вісі Ох.
Проекцією вектора на вісь Ох називається алгебраїчна величина відрізка А1В1, де А 1, В1 – проекції точок А і В на дану вісь. Довжина відрізка А 1В1 береться зі знаком +, якщо напрямок відрізка збігається з позитивним напрямком осі Ох і зі знаком – у протилежному випадку. Відповідно до малюнка
проекція вектора 
на вісь ОХ є додатною величиною і визначається довжиною відрізка А1В1. Проекція вектора 
на вісь Оx є від’ємною величиною і дорівнює - С1D1.
Проекція вектора на вісь Ох дорівнює добутку його модуля на косинус кута φ між цим вектором і віссю Ох.
прх = ах = 
соs φ.
Звідси випливає, що проекція вектора на вісь додатна, якщо вектор утворює з віссю гострий кут; від’ємна, якщо цей кут тупий, дорівнює нулю, якщо цей кут прямий.
Проекції рівних векторів на ту саму вісь рівні між собою.
Проекції векторів і 
на дану вісь мають такі властивості:
1. прх ( + ) = прх + прх = ах + bх,
2. прх (λ ∙ ) = λ ∙ прх = λ ∙ ах.
Якщо α, β, γ – кути, утворені вектором з координатними вісями Ох, Оу, Оz прямокутної системи координат, то проекції вектора на координатні вісі визначаються за формулами
ах = ∙ соs α, ау = ∙ соs β, аz = ∙ соs γ.
Модуль вектора через його проекції на вісі прямокутної системи координат обчислюється за формулою:
= 
.
Тоді напрямні косинуси визначаємо так:
,
,
.
Для напрямних косинусів існує формула:
соs2 α + соs2β + соs2 γ = 1.
Приклад. Вектор 
заданий координатами 
. Знайти модуль цього вектора і значення його напрямних косинусів.
Розв’язання: Модуль вектора обчислюється за формулою 
, а його напрямні косинуси дорівнюють 
, 
, 
.
Відповідь: 
; , , .
Якщо 
- одиничні вектори, спрямовані по координатних осях Ох, Оу, Оz відповідно, то розкладання вектора за трьома координатними осями має вигляд
,
де ах, ау, аz – проекції вектора на координатні вісі Ох, Оу, Оz, які називаються координатами вектора і позначаються як (ах, ау, аz).
Якщо початок вектора співпадає з початком координат, а його кінець- точка А - має координати х, у, z, то тоді його проекції на координатні вісі дорівнюють координатам його кінця, тобто ах = х, ау = у, аz = z.
У цьому разі вектор називається радіусом-вектором точки А. Радіус-вектор точки позначається зазвичай через 
, а модуль радіуса-вектора обчислюється за формулою 
.
Якщо для вектора відомі координати його початку А(х1, у1, z1) і кінця В(х2, у2, z2), причому початок вектора не обов’язково збігається з початком координат, то проекції вектора на координаті вісі визначаються таким чином
ах = х2 - х1, ау = у2 – у1, а = z2 – z1.
Вектор в цьому разі можна подати через його координати
,
а його модуль визначається виразом
.
Приклад. Вектор заданий координатами точок А(2, 1, 3) і В(5, -2, 3). Знайти модуль вектора .
Розв’язання: Проекції вектора на координатні вісі дорівнюють:
ах = х2 – х1 = 5 – 2 = 3,
ау = у2 – у1= -2 -1 = -3,
аz = z2 – z1= 3 – 3 = 0.
Модуль вектора дорівнює 
.
Відповідь: 
.