Скалярний добуток.

Скалярним добутком двох векторів і називається число, яке дорівнює добутку їхніх модулів на косинус кута між ними. Скалярний добуток векторів і позначається символом . Якщо позначити кут між вектором і через φ, для скалярного добутку будемо мати вираз

.

Властивості скалярного добутку:

1. = - комутативна (переставна) властивість;

2. - асоціативна (сполучна) властивість відносно множення на число;

3. - дистрибутивна (розподільна) властивість.

З визначення скалярного добутку випливає, що косинус кута між двома ненульовими векторами і дорівнює . Звідси робимо висновок, що два вектора і перпендикулярні (φ = ) тоді і тільки тоді, коли = 0.

Якщо вектори і задані своїми координатами (а_х, а_у, а_z) i (b_x, b_y, b_z) відповідно, то ці вектори мають вигляд

, .

Їхній скалярний добуток обчислюється за формулою

,

а косинус кута φ між цими векторами дорівнює

.

Звичайно, якщо вектори і перпендикулярні між собою, то

.

Приклад. Вектори і задані своїми координатами (2, -1, 2), (3, 0, 4). Знайти скалярний добуток цих векторів і кут між ними.

Розв’язання:

=2 ∙ 3 – 1 ∙ 0 + 2 ∙ 4 = 14;

.

Відповідь: =14; .