Решение. Для удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных расчетов в таблицу: №

Для удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных расчетов в таблицу:

№
	7, 0	3, 9	10, 0	27, 3	70, 0	39, 0	15, 21	100, 0	49, 0
	7, 0	3, 9	14, 0	27, 3	98, 0	54, 6	15, 21	196, 0	49, 0
	7, 0	3, 7	15, 0	25, 9	105, 0	55, 5	13, 69	225, 0	49, 0
	7, 0	4, 0	16, 0	28, 0	112, 0	64, 0	16, 0	256, 0	49, 0
	7, 0	3, 8	17, 0	26, 6	119, 0	64, 6	14, 44	289, 0	49, 0
	7, 0	4, 8	19, 0	33, 6	133, 0	91, 2	23, 04	361, 0	49, 0
	8, 0	5, 4	19, 0	43, 2	152, 0	102, 6	29, 16	361, 0	64, 0
	8, 0	4, 4	20, 0	35, 2	160, 0	88, 0	19, 36	400, 0	64, 0
	8, 0	5, 3	20, 0	42, 4	160, 0	106, 0	28, 09	400, 0	64, 0
	10, 0	6, 8	20, 0	68, 0	200, 0	136, 0	46, 24	400, 0	100, 0
	9, 0	6, 0	21, 0	54, 0	189, 0	126, 0	36, 0	441, 0	81, 0
	11, 0	6, 4	22, 0	70, 4	242, 0	140, 8	40, 96	484, 0	121, 0
	9, 0	6, 8	22, 0	61, 2	198, 0	149, 6	46, 24	484, 0	81, 0
	11, 0	7, 2	25, 0	79, 2	275, 0	180, 0	51, 84	625, 0	121, 0
	12, 0	8, 0	28, 0	96, 0	336, 0	224, 0	64, 0	784, 0	144, 0
	12, 0	8, 2	29, 0	98, 4	348, 0	237, 8	67, 24	841, 0	144, 0
	12, 0	8, 1	30, 0	97, 2	360, 0	243, 0	65, 61	900, 0	144, 0
	12, 0	8, 5	31, 0	102, 0	372, 0	263, 5	72, 25	961, 0	144, 0
	14, 0	9, 6	32, 0	134, 4	448, 0	307, 2	92, 16	1024, 0	196, 0
	14, 0	9, 0	36, 0	126, 0	504, 0	324, 0	81, 0	1296, 0	196, 0
Сумма		123, 8		1276, 3		2997, 4	837, 74	10828, 0	1958, 0
Ср. знач.	9, 6	6, 19	22, 3	63, 815	229, 05	149, 87	41, 887	541, 4	97, 9

Найдем средние квадратические отклонения признаков:

;

;

.

1. Вычисление параметров линейного уравнения множественной регрессии.

Для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии

необходимо решить следующую систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров , , :

либо воспользоваться готовыми формулами:

; ;

.

Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:

;

;

.

Находим

;

;

.

Таким образом, получили следующее уравнение множественной регрессии:

.

Коэффициенты и стандартизованного уравнения регрессии находятся по формулам:

;

.

Т.е. уравнение будет выглядеть следующим образом:

.

Так как стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой, то можно сказать, что ввод в действие новых основных фондов оказывает большее влияние на выработку продукции, чем удельный вес рабочих высокой квалификации.

Сравнивать влияние факторов на результат можно также при помощи средних коэффициентов эластичности:

.

Вычисляем:

; .

Т.е. увеличение только основных фондов (от своего среднего значения) или только удельного веса рабочих высокой квалификации на 1% увеличивает в среднем выработку продукции на 0, 61% или 0, 20% соответственно. Таким образом, подтверждается большее влияние на результат фактора , чем фактора .

2. Коэффициенты парной корреляции мы уже нашли:

; ; .

Они указывают на весьма сильную связь каждого фактора с результатом, а также высокую межфакторную зависимость (факторы и явно коллинеарны, т.к. ). При такой сильной межфакторной зависимости рекомендуется один из факторов исключить из рассмотрения.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при элиминировании (устранении влияния) других факторов, включенных в уравнение регрессии.

При двух факторах частные коэффициенты корреляции рассчитываются следующим образом:

;

.

Если сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно увидеть, что из-за высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи. Именно по этой причине рекомендуется при наличии сильной коллинеарности (взаимосвязи) факторов исключать из исследования тот фактор, у которого теснота парной зависимости меньше, чем теснота межфакторной связи.

Коэффициент множественной корреляции определить через матрицу парных коэффициентов корреляции:

,

где

– определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;

– определитель матрицы межфакторной корреляции.

;

.

Коэффициент множественной корреляции

.

Аналогичный результат получим при использовании других формул:

;

;

.

Коэффициент множественной корреляции показывает на весьма сильную связь всего набора факторов с результатом.

3. Нескорректированный коэффициент множественной детерминации оценивает долю вариации результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата. Здесь эта доля составляет и указывает на весьма высокую степень обусловленности вариации результата вариацией факторов, иными словами – на весьма тесную связь факторов с результатом.

Скорректированный коэффициент множественной детерминации

определяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий. Он дает такую оценку тесноты связи, которая не зависит от числа факторов и поэтому может сравниваться по разным моделям с разным числом факторов. Оба коэффициента указывают на весьма высокую (более ) детерминированность результата в модели факторами и .

4. Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи дает -критерий Фишера:

.

В нашем случае фактическое значение -критерия Фишера:

.

Получили, что (при ), т.е. вероятность случайно получить такое значение -критерия не превышает допустимый уровень значимости . Следовательно, полученное значение не случайно, оно сформировалось под влиянием существенных факторов, т.е. подтверждается статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи .

5. С помощью частных -критериев Фишера оценим целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после и фактора после при помощи формул:

;

.

Найдем и .

;

.

Имеем

;

.

Получили, что . Следовательно, включение в модель фактора после того, как в модель включен фактор статистически нецелесообразно: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного признака оказывается незначительным, несущественным; фактор включать в уравнение после фактора не следует.

Если поменять первоначальный порядок включения факторов в модель и рассмотреть вариант включения после , то результат расчета частного -критерия для будет иным. , т.е. вероятность его случайного формирования меньше принятого стандарта . Следовательно, значение частного -критерия для дополнительно включенного фактора не случайно, является статистически значимым, надежным, достоверным: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного фактора является существенным. Фактор должен присутствовать в уравнении, в том числе в варианте, когда он дополнительно включается после фактора .

6. Общий вывод состоит в том, что множественная модель с факторами и с содержит неинформативный фактор . Если исключить фактор , то можно ограничиться уравнением парной регрессии:

, .

Варианты индивидуальных заданий

По 20 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов (% от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих (%) (смотри таблицу своего варианта).

Требуется:

1. Построить линейную модель множественной регрессии. Записать стандартизованное уравнение множественной регрессии. На основе стандартизованных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов эластичности ранжировать факторы по степени их влияния на результат.

2. Найти коэффициенты парной, частной и множественной корреляции. Проанализировать их.

3. Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.

4. С помощью -критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и коэффициента детерминации .

5. С помощью частных -критериев Фишера оценить целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после и фактора после .

6. Составить уравнение линейной парной регрессии, оставив лишь один значащий фактор.

Вариант 1

Номер предприятия				Номер предприятия
		3, 6				6, 3
		3, 6				6, 4
		3, 9
		4, 1				7, 5
		3, 9				7, 9
		4, 5				8, 2
		5, 3
		5, 3				8, 6
		5, 6				9, 5
		6, 8

Вариант 2

Номер предприятия				Номер предприятия
		3, 5				6, 3
		3, 6				6, 4
		3, 9
		4, 1				7, 5
		4, 2				7, 9
		4, 5				8, 2
		5, 3				8, 4
		5, 3				8, 6
		5, 6				9, 5

Вариант 3

Номер предприятия				Номер предприятия
		3, 7				6, 3
		3, 7				6, 4
		3, 9				7, 2
		4, 1				7, 5
		4, 2				7, 9
		4, 9				8, 1
		5, 3				8, 4
		5, 1				8, 6
		5, 6				9, 5
		6, 1				9, 5

Вариант 4

Номер предприятия				Номер предприятия
		3, 5				6, 3
		3, 6				6, 5
		3, 9				7, 2
		4, 1				7, 5
		4, 2				7, 9
		4, 5				8, 2
		5, 3				8, 4
		5, 5				8, 6
		5, 6				9, 5
		6, 1				9, 6

Вариант 5

Номер предприятия				Номер предприятия
		3, 6				6, 3
		3, 6				6, 9
		3, 7				7, 2
		4, 1				7, 8
		4, 3				8, 1
		4, 5				8, 2
		5, 4				8, 4
		5, 5				8, 8
		5, 8				9, 5
		6, 1				9, 7

Вариант 6

Номер предприятия				Номер предприятия
		3, 5				6, 3
		3, 6				6, 8
		3, 8				7, 2
		4, 2				7, 9
		4, 3				8, 1
		4, 7				8, 3
		5, 4				8, 4
		5, 6				8, 8
		5, 9				9, 6
		6, 1				9, 7

Вариант 7

Номер предприятия				Номер предприятия
		3, 8				6, 8
		3, 8				7, 4
		3, 9				7, 8
		4, 1				7, 5
		4, 6				7, 9
		4, 5				8, 1
		5, 3				8, 4
		5, 5				8, 7
		6, 1				9, 5
		6, 8				9, 7

Вариант 8

Номер предприятия				Номер предприятия
		3, 8				7, 1
		4, 1				7, 5
		4, 3				7, 8
		4, 1				7, 6
		4, 6				7, 9
		4, 7				8, 1
		5, 3				8, 5
		5, 5				8, 7
		6, 9				9, 6
		6, 8				9, 8

Вариант 9

Номер предприятия				Номер предприятия
		3, 9				7, 1
		4, 2				7, 5
		4, 3				7, 8
		4, 4				7, 9
		4, 6				8, 1
		4, 8				8, 4
		5, 3				8, 6
		5, 7				8, 8
		6, 9				9, 6
		6, 8				9, 9

Вариант 10

Номер предприятия				Номер предприятия
		3, 6				7, 2
		4, 1				7, 6
		4, 3				7, 8
		4, 4				7, 9
		4, 5				8, 2
		4, 8				8, 4
		5, 3				8, 6
		5, 6				8, 8
		6, 7				9, 2
		6, 9				9, 6