Система линейных однородных уравнений, свойства их решений. Теорема об общем решении системы линейных неоднородных уравнений

Однородные системы линейных уравнений. Система (15) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b ₁ = b ₂ = … = b_m = 0), иначе — неоднородной.

Рассмотрим однородную систему m линейных уравнений с n переменными:

(15)

Система однородных линейных уравнений всегда совместна, т.к. она всегда имеет нулевое (тривиальное) решение (0, 0, …, 0).

Если в системе (15) m=n и , то система имеет только нулевое решение, что следует из теоремы и формул Крамера.

Теорема 1. Однородная система (15) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы меньше числа переменных, т.е. r(A)< n.

Доказательство. Существование нетривиального решения системы (15) эквивалентно линейной зависимости столбцов матрицы системы (т.е. существуют такие числа х₁, x₂, …, x_n, не все равные нулю, что справедливы равенства (15)).

По теореме о базисном миноре столбцы матрицы линейно зависимы Û, когда не все столбцы этой матрицы являются базисными, т.е. Û, когда порядок r базисного минора матрицы меньше числа n ее столбцов. Ч.т.д.

Следствие. Квадратная однородная система имеет нетривиальные решения Û, когда |А|=0.

Теорема 2. Если столбцы х⁽¹⁾, х⁽²⁾, …, х^(s) решения однородной системы АХ=0, то любая их линейная комбинация так же является решением этой системы.

Доказательство. Рассмотрим любую комбинацию решений:

х= , l_kÎ R

Тогда АХ=А()= = =0. ч.т.д.

Следствие 1. Если однородная система имеет нетривиальное решение, то она имеет бесконечно много решений.

Т.о. необходимо найти такие решения х⁽¹⁾, х⁽²⁾, …, х^(s) системы Ах=0, чтобы любое другое решение этой системы представлялось в виде их линейной комбинации и притом единственным образом.

Определение. Система k=n-r (n –количество неизвестных в системе, r=rg A) линейно независимых решений х⁽¹⁾, х⁽²⁾, …, х^(k) системы Ах=0 называется фундаментальной системой решений этой системы.

Теорема 3. Пусть дана однородная система Ах=0 с n неизвестными и r=rg A. Тогда существует набор из k=n-r решений х⁽¹⁾, х⁽²⁾, …, х^(k) этой системы, образующих фундаментальную систему решений.

Доказательство. Не ограничивая общности, можно считать, что базисный минор матрицы А расположен в верхнем левом углу. Тогда, по теореме о базисном миноре, остальные строки матрицы А являются линейными комбинациями базисных строк. Это означает, что если значения х₁, х₂, …, x_n удовлетворяют первым r уравнениям т.е. уравнениям, соответствующим строкам базисного минора), то они удовлетворяют и другим уравнениям. Следовательно, множество решений системы не изменится, если отбросить все уравнения начиная с (r+1)-го. Получим систему:

Перенесем свободные неизвестные х_r+1, х_r+2, …, x_n в правую часть, а базисные х₁, х₂, …, x_r оставим в левой:

(16)

Т.к. в этом случае все b_i=0, то вместо формул

c_j= (M_j(b_i)-c_r+1M_j(a_{i, r+1})-…-c_nM_j(a_in)) j=1, 2, …, r ((13), получим:

c_j=- (c_r+1M_j(a_{i, r+1})-…-c_nM_j(a_in)) j=1, 2, …, r (13¢)

Если задать свободным неизвестным х_r+1, х_r+2, …, x_n произвольные значения, то относительно базисных неизвестных получим квадратную СЛАУ с невырожденной матрицей, у которой существует единственное решение. Т.о., любое решение однородной СЛАУ однозначно определяется значениями свободных неизвестных х_r+1, х_r+2, …, x_n. Рассмотрим следующие k=n-r серий значений свободных неизвестных:

=1, =0, …., =0,

=1, =0, …., =0, (17)

………………………………………………

=1, =0, …., =0,

(Номер серии указан верхним индексом в скобках, а серии значений выписаны в виде столбцов. В каждой серии =1, если i=j и =0, если i¹ j.

i-й серии значений свободных неизвестных однозначно соответствуют значения , , …, базисных неизвестных. Значения свободных и базисных неизвестных в совокупности дают решения системы (17).

Покажем, что столбцы е_i= , i=1, 2, …, k (18)

образуют фундаментальную систему решений.

Т.к. эти столбцы по построению являются решениями однородной системы Ах=0 и их количество равно k, то остается доказать линейную независимость решений (16). Пусть есть линейная комбинация решений e₁, e₂, …, e_k (х⁽¹⁾, х⁽²⁾, …, х^(k)), равная нулевому столбцу:

l ₁e₁+ l₂ e₂+…+ l_k e_k ( l₁ х ⁽¹⁾+l₂ х ⁽²⁾+…+l_k х ^(k)= 0)

Тогда левая часть этого равенства является столбцом, компоненты которого с номерами r+1, r+2, …, n равны нулю. Но (r+1)-я компоненты равна l₁1+l₂0+…+l_k0=l₁. Аналогично, (r+2)-я компонента равна l₂, …, k-я компонента равна l_k. Поэтому l₁ = l₂ = …=l_k=0, что и означает линейную независимость решений e₁, e₂, …, e_k ( х⁽¹⁾, х⁽²⁾, …, х^(k)).Ч.т.д.

Построенная фундаментальная система решений (18) называется нормальной. В силу формулы (13¢) она имеет следующий вид:

(20)

Следствие 2. Пусть e₁, e₂, …, e_k -нормальная фундаментальная система решений однородной системы, тогда множество всех решений можно описать формулой:

х=с₁ e₁ +с₂ e₂ +…+с_k e_k (21)

где с₁, с₂, …, с_k – принимают произвольные значения.

Доказательство. По теореме 2 столбец (19) является решением однородной системы Ах=0. Остается доказать, что любое решение этой системы можно представить в виде (17). Рассмотрим столбец х =у_r+1 e₁ +…+y_n e_k. Этот столбец совпадает со столбцом у по элементам с номерами r+1, …, n и является решением (16). Поэтому столбцы х и у совпадают, т.к. решения системы (16) определяются однозначно набором значений ее свободных неизвестных x_r+1, …, x_n, а у столбцов у и х эти наборы совпадают. Следовательно, у = х = у_r+1 e₁ +…+y_n e_k, т.е. решение у является линейной комбинацией столбцов e₁, …, y_n нормальной ФСР. Ч.т.д.

Доказанное утверждение справедливо не только для нормальной ФСР, но и для произвольной ФСР однородной СЛАУ.

Х=c₁Х₁+c₂Х₂+…+с_n-rХ_n-r - общее решение системы линейных однородных уравнений

Где Х₁, Х₂, …, Х_n-r – любая фундаментальная система решений,

c₁, c₂, …, с_n-r – произвольные числа.

Пример. (с. 78)

Установим связь между решениями неоднородной СЛАУ (1) и соответствующей ей однородной СЛАУ (15)

Теорема 4. Сумма любого решения неоднородной системы (1) и соответствующей ей однородной системы (15) является решением системы (1).

Доказательство. Если c₁, …, c_n – решение системы (1), а d₁, …, d_n - решение системы (15), то подставив в любое (например, в i-е) уравнение системы (1) на место неизвестных числа c₁+d₁, …, c_n+d_n, получим:

= + =b_i+0=b_i ч.т.д.

Теорема 5. Разность двух произвольных решений неоднородной системы (1) является решением однородной системы (15).

Доказательство. Если c¢ ₁, …, c¢ _n и c² ₁, …, c² _n – решения системы (1), то подставив в любое (например, в i-е) уравнение системы (1) на место неизвестных числа c¢ ₁-с² ₁, …, c¢ _n-с² _n, получим:

= - =b_i-b_i=0 ч.т.д.

Из доказанных теорем следует, что общее решение системы m линейных однородных уравнений с n переменными равно сумме общего решения соответствующей ей системы однородных линейных уравнений (15) и произвольного числа частного решения этой системы (15).

Х_неод.=Х_{общ. одн.}+Х_{част. неодн.} (22)

В качестве частного решения неоднородной системы естественно взять то его решение, которое получается, если в формулах c_j= (M_j(b_i)-c_r+1M_j(a_{i, r+1})-…-c_nM_j(a_in)) j=1, 2, …, r ((13) положить равными нулю все числа c_r+1, …, c_n, т.е.

Х₀=(, …, , 0, 0, …, 0) (23)

Складывая это частное решение с общим решением Х=c₁Х₁+c₂Х₂+…+с_n-rХ_n-r соответствующей однородной системы, получаем:

Х_неод.=Х₀+С₁Х₁+С₂Х₂+…+С_n-rХ_n-r (24)

Рассмотрим систему двух уравнений с двумя переменными:

в которой хотя бы один из коэф. a_ij 0.

Для решения исключим х₂, умножив первое уравнение на а₂₂, а второе – на (-а₁₂) и сложив их: Исключим х₁, умножив первое уравнение на (-а₂₁), а второе – на а₁₁ и сложив их: Выражение в скобках – определитель

Обозначив , , тогда система примет вид: , т.о., если , то система имеет единственное решение: , .

Если Δ =0, а (или ), то система несовместна, т.к. приводится к виду Если Δ =Δ ₁=Δ ₂=0, то система неопределенная, т.к. приводится к виду