Модель ценообразования на капитальные активы (САРМ) и ее значение в современной портфельной теории. (15 баллов).

Часто на практике используется модель ценообразования на капитальные активы (Capital Assets Pricing Model – САРМ), в основе которой лежит предположение, что норма дохода по рисковому активу складывается из нормы дохода по безрисковому активу (безрисковой ставки) и премии за риск, которая связана с уровнем риска по данному активу.

Фундаментальное допущение, лежащее в основе данной модели, состоит в том, что та часть ожидаемого дохода по ценной бумаге, которая приходится на премию за риск, является функцией связанного с данной ценной бумагой систематического риска. Поскольку специфический риск легко можно устранить диверсификацией портфеля, с точки зрения рынка он не является необходимым и рынок «не вознаграждает» инвестора за этот риск; вознаграждение за риск зависит только от систематического риска.

Математически формула определения ожидаемой ставки доходности на долгосрочный актив имеет следующий вид: Ri = Rf + β (Rm-Rf) где, Rf - доходность безрисковых активов, под которой, как правило, понимают доходность государственных ценных бумаг; Rm - ожидаемая средняя норма прибыли рыночного портфеля; (Rm-Rf) - премия за риск вложения в акции (в ряде учебных пособий премия за рыночный риск принимается равной 5%); β - коэффициент, характеризующий чувствительность оцениваемой ценной бумаги к изменениям рыночной доходности.

Как видно из модели, ожидаемая доходность (Ri) акций компании является функцией трех взаимосвязанных и взаимообусловленных параметров: среднерыночной доходности; без рисковых вложений и присущего рассматриваемой компании β -коэффициента.

Среднерыночная доходность (Rm) представляет собой доходность рыночного портфеля. В качестве данного показателя берут, например, среднюю доходность по акциям, включенным в рыночный портфель, используемый для расчета какого-либо общеизвестного индекса (Индекс ММВБ, Nikkei 225 и т.п.), данные значения легко можно найти в открытом доступе.

Без рисковая доходность (Rf) представляет собой, ожидаемый среднегодовой темп прироста экономики в долгосрочной перспективе, но с поправкой на изменение краткосрочной ликвидности и инфляцию. Единого мнения в отношении значения показателя нет. Так, американские финансовые аналитики полагают, что в качестве доходности безрисковых активов следует брать доходность по казначейским обязательствам, но вот какие обязательства использовать-долго- или краткосрочные, – единства нет.

Разницу между среднерыночной нормой доходности акций и безрисковой ставкой (Rм - Rf) называют премией за риск вложения в акции (equity risk premium). Премию за риск вложения в акции, как правило, определяют на базе исторических данных о премиях за риск, опубликованных Ibbotson Associates. Обычно эта премия варьируется в диапазоне 3, 5% - 6%.

Бета-коэффициент (β) является основным фактором, отражающим эффект взаимных корреляций доходности бумаг анализируемой компании с доходностью ценных бумаг, обращающихся на данном рынке.

Коэффициент выражает меру систематического риска для акций компании, он характеризует вариабельность ее доходности по отношению к среднерыночной доходности (т.е. к доходности рыночного портфеля). Величина коэффициента определяется на основе анализа ретроспективных данных соответствующими статистическими службами фирм, специализирующихся на рынке информационно-аналитических услуг, инвестиционными и консалтинговыми компаниями и публикуется в финансовых справочниках и периодических изданиях, анализирующих фондовые рынки. Значение β составляет около 1 (для рынка в среднем бета = 1).

Известны достаточно простые алгоритмы, позволяющие найти приблизительное значение бета-коэффициента для данной ценной бумаги. Пусть Kij - доходность акций i-й компании в j-м году, a Kmj - доходность на рынке в среднем (j = 1, 2,..., n) за все анализируемые периоды. Если к рынку применима модель САРМ, то, как следует из модели, β -коэффициент представляет собой коэффициент эластичности, а его значение можно рассчитать как отношение приращения доходности акций i-й компании (Δ Kij) к приращению среднерыночной доходности (Δ Kmj):

β = Δ Kij/Δ Kmj

Алгоритм, задаваемый формулой, весьма приблизителен, поскольку приращения можно считать различными способами. Достаточно часто используется следующий вариант расчета β:

· определяются средние (например, по годам) значения доходности акций данной компании и по рынку в целом;

· строится уравнение линейной регрессии, отражающее зависимость средней доходности акций данной компании от доходности на рынке в среднем;

· коэффициент регрессии (т.е. коэффициент при параметре Km) и будет бета-коэффициентом.

В учебной литературе встречается также расширенная формула определения ценообразования на рынке капитальных финансовых активов:

CAPM = Rf + β (Rm - Rf) + S1 + S2 + C где,

β - коэффициент бета, учитывающий соотношение собственного и заемного капитала компании;

S1 - дополнительная норма дохода за риск инвестирования в конкретную компанию;

S2 - дополнительная норма дохода за риск инвестирования в малую компанию;

C - дополнительная норма дохода, учитывающая страновой риск.

Так как данные для расчета CAPM базируются на процентных ставках номинированных в долларах США, то при использовании рублевых денежных потоков необходимо скорректировать полученную величину ставки дисконтирования по следующей формуле:

Rrur = (1 + Rusd) x (1 + Brur) / (1 + Busd) – 1 где,

Rrur - ставка дисконтирования, номинированная в рублях;

Rusd - ставка дисконтирования, номинированная в долларах США;

Brur - доходность по рублевым государственным облигациям России;

Busd - доходность по еврооблигациям России, номинированным в долларах США.[4]

Одним из основных преимуществ в применении модели является то что, модель CAРM позволяет учесть влияние внешних факторов, не зависящих от хода реализации проекта, – страновые и политические риски, ставки доходности (без рисковые, отраслевые и среднерыночные). При этом, правда, следует учитывать и ее недостатки, к которым можно отнести:

· Имеет прямое отношение только к компаниям, которые являются открытыми акционерными обществами и, следовательно, их акциями торгуют на фондовых рынках.

· Вызывает затруднения при определении, какие из вложений можно считать без рисковыми, применим только к компаниям, которые располагают достаточной статистикой для расчета своего коэффициента бета или имеют возможность найти компанию-аналог, чей коэффициент бета мог бы использоваться в расчетах.

Вы должны предложить руководству свой вариант формирования оптимального портфеля ценных бумаг организации. Для убедительности покажите это еще и на графике (15 баллов).

В настоящее время в России бурно развивается рынок ценных бумаг: появляются новые фондовые рынки, выставляются на торги новые ценные бумаги, с каждым годом увеличивается объем операций с ценными бумагами. Итак, поставим задачу построения математической модели определения оптимальной структуры портфеля ценных бумаг. В каких пропорциях (долях) хi инвестор должен распределить вкладываемую сумму между доступным набором фондовых активов, если он пожелает иметь среднюю доходность от вложенных средств в размере не менее d процентов в месяц при минимально возможном в этом случае риске? Необходимо выбрать такую структуру инвестиционного портфеля, которая минимизировала бы величину его стандартного отклонения или его дисперсии при выбранном уровне доходности.

В общем виде математическая модель нахождения оптимальной структуры портфеля акций выглядит следующим образом:

· - доля i бумаги в оптимальном портфеле

· - номинальная доходность i-ой ценной бумаги

· - дисперсия доходности i-ой ценной бумаги

· - запланированная инвестором доходность.

Целевая функция представляет собой дисперсию инвестиционного портфеля, состоящего из n видов ценных бумаг. Первое ограничение - это математическая форма записи доходности реального инвестиционного портфеля. Второе ограничение отражает тот факт, что при полном инвестировании сумма всех долей будет составлять единицу.

Численная реализация модели:

Произведем расчет конкретной структуры инвестиционного портфеля с заданной ожидаемой доходностью, содержащего 8 видов акций и один вид ГКО - 21165, всего n = 9. Предположим, что этими акциями являются ценные бумаги: обыкновенные акции (о.а.) РАО “ЕЭС России” (EESR); о.а. ОАО “Лукойл” (LKOH); о.а. ОАО “Ростелеком” (RTKM); о.а. Сбербанк России (SBER); а.о. ОАО “НК “ЮКОС” (UYKO); а.о. ОАО “Татнефть” (TATN); а.о. ОАО “Сибнефть” (SIBN); а.о. АО “Свердловэнерго” (SVEN).

Обозначим х1, х2, …, х8 как доли в оптимальном портфеле представленной выше последовательности акций и х9 - ГКО-21165.

Допустим, что инвестор желает получить от этого портфеля гарантированную доходность, например, превышающую среднюю на фондовом рынке. Мерой этой доходности может служить приращение российского фондового индекса ММВБ.

Временной интервал, исходя из которого определялась статистическая информация (котировки ценных бумаг): с 20.01.03 по 20.06.03. По котировкам ценных бумаг определим их доходность (вследствие недостатка информации по дивидендам исследуемых акций, в доходности они не учтены).

Для формирования целевой функции используются показатели доходности ценных бумаг за исследуемый период с 1 вложенного рубля, т.е. покупка ценной бумаги в начале периода и продажа в конце (корректировка на инфляцию не учтена).

Для построения ограничений используются доходности ценных бумаг, рассчитанные за более короткий интервал времени, чем исследуемый период, с целью получения инвестором запланированной доходности в течение всего периода, т.е. в каждом из интервалов. Итак в нашем примере интервал выбран в течение 3-х декад, а количество периодов равно пяти (t=1..5).

Поиск решения определялся с помощью Microsoft Excel. При поиске решения используется алгоритм нелинейной оптимизации Generalized Reduced Gradient (GRG2), разработанный Леоном Ласдоном (Leon Lasdon, University of Texas at Austin) и Аланом Уореном (Allan Waren, Cleveland State University).

Требуется предложить руководству свой вариант формирования оптимального портфеля ценных бумаг организации. Для убедительности покажите это еще и на графике (15 баллов).