Интегральная теорема Лапласа

Вновь предположим, что производится n испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р (0 < р < 1). Как вычис­лить вероятность того, что событие А появится в n испытаниях не менее k₁ и не более k₂ раз (для краткости будем говорить «от k₁ до k₂ раз»)? На этот вопрос отвечает интегральная теорема Лапласа, которую мы приводим ниже, опустив доказательство.

Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие А появится в n испытаниях от k₁ до k₂ раз, приближенно равна определенному интегралу

, (*)

где и .

При решении задач, требующих применения интеграль­ной теоремы Лапласа, пользуются специальными табли­цами, так как неопределенный интеграл не выражается через элементарные функции. Таблица для интеграла приведена в приложении 2. В таблице даны значения функции Ф(х) для положительных значений х и для х=0; для х < 0 пользуются той же таблицей [функция Ф(х) нечетна, т. е. Ф (-х) =-Ф (х)]. В таблице приведены значения интеграла лишь до х = 5, так как для х> 5 можно принять Ф (х) = 0, 5. Функцию Ф (х) часто называют функцией Лапласа.

Для того чтобы можно было пользоваться таблицей функции Лапласа, преобразуем соотношение (*) так:

.

Итак, вероятность того, что событие А появится в n независимых испытаниях от k₁ до k₂ раз,

,

где и .

Приведем примеры, иллюстрирующие применение ин­тегральной теоремы Лапласа.

Пример. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна р = 0, 2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно ото­бранных деталей окажется непроверенных от 70 до 100 деталей.

Решение. По условию, р = 0, 2; q = 0, 8; n = 400; k₁ = 70; k₂=100. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

.

Вычислим нижний и верхний пределы интегрирования:

;

.

Таким образом, имеем

.

По таблице приложения 2 находим:

Ф (2, 5) = 0, 4938; Ф (1, 25) = 0, 3944.

Искомая вероятность

.

Замечание. Обозначим через m число появлений события А при n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события А постоянна и равна р. Есл и число m изме­няется от k₁ до k₂, то дробь изменяется от до . Следовательно, интегральную теорему Лапласа можно записать и так:

.

Эта форма записи используется ниже.