Краткие теоретические сведения. Геометрические характеристики плоских сечений

Геометрические характеристики плоских сечений

Краткие теоретические сведения

При расчете на прочность и жесткость стержней, работающих на изгиб, важную роль играют геометрические характеристики плоских сечений, в основном осевые моменты инерции. Однако для определения положения нейтральных осей приходится решать много сопутствующих вопросов: нахождение центра тяжести сечения, расположение главных, центральных осей и величин моментов инерции относительно главных осей.

К геометрическим характеристикам плоских сечений относятся:

Рис. 5.1.1

площадь ; осевые статические моменты ; .

координаты центра тяжести сечения

; . (5.1.1)

Сложное сечение можно разбить на простые элементы, например

Рис. 5.1.2

; (5.1.2) . (5.1.3)

Осевыми моментами инерции называют:

; .

Величину называют центробежным моментом инерции.

Моменты инерции простейших сечений:

Рис. 5.1.3

; - относительно центральных осей прямоугольника; ; - относительно осей, проходящих через сторону прямоугольника;

Рис. 5.1.4

- относительно оси, проходящей через диаметр круга.

Рис. 5.1.5

- относительно оси, проходящей через основание треугольника. - относительно оси, проходящей через центр тяжести треугольника (рис. 5.1.5).

Часто используются зависимости изменения моментов инерции сечения при параллельном переносе осей.

Рис. 5.1.6

(5.1.4) , где Jx, Jy, Jxy – осевые и центробежный моменты инерции относительно центральных осей сечения.

Для сечений, не имеющих осей симметрии, приходится определять положение нейтральной оси при изгибе поворотом осей. Для осей, полученных поворотом исходных на угол a (рис. 5.1.7), моменты инерции определяются из соотношений

Рис. 5.1.7

, (5.1.5) (5.1.6) (5.1.7)

Среди всего многообразия осей, связанных с сечением, существуют оси, относительно которых центробежный момент инерции равен 0. Такие оси называются главными осями сечения, а если они проходят через центр тяжести сечения – главными центральными.

Положение главных осей определяется:

, (5.1.8)

где a - угол, на который нужно повернуть центральные оси, чтобы получить главные. моменты инерции относительно главных осей экстремальны. Их можно найти из соотношений

. (5.1.9)

Осевым моментом сопротивления называют отношение

. (5.1.10)

Разберем типичные задачи, которые часто приходится решать при расчете стержней, работающих на изгиб.