Задача 3. Рис. 5.2.3 Для сечения, представленного на рисунке, определить положение главных центральных осей и моменты инерции относительно

Рис. 5.2.3

Для сечения, представленного на рисунке, определить положение главных центральных осей и моменты инерции относительно главных центральных осей. Решение Определим положение центральных осей. для этого найдем центр тяжести сечения. Выберем начальные оси x, y по левой и нижней граням сечения.

Разобьем сечение на два элемента: вертикальный прямоугольник  и горизонтальный прямоугольник ‚, оси, проходящие через центры тяжестей элементов, обозначим x ₁ y ₁; x ₂ y ₂.

Координаты центра тяжести элемента С ₁ (1; 4), второго С ₂ (4; 1). Координаты центра тяжести всего сечения:

см.

см.

Центр тяжести т. С (2; 3) расположен на прямой, соединяющей центры тяжести элементов. Оси x_c, y_c – центральные.

Главные центральные оси найдем поворотом центральных осей x_c, y_c на угол a (5.1.8):

.

Моменты инерции сечения , ; найдем суммой моментов инерции элементов относительно этих осей. Центральные оси сечения параллельны собственным центральным осям, тогда можно воспользоваться соотношениями изменения моментов инерции при параллельном переносе осей (5.1.4).

,

,

,

,

где а ₁, b ₁, a ₂, b ₂ – координаты центров тяжести элементов в осях x_c, y_c; a ₁ = 1 см; b ₁ = 1 см; a ₂ = -2 см; b ₂ = 2 см.

см⁴,

см⁴.

Учитывая, что центробежные моменты инерции относительно собственных центральных осей равны 0 (собственные центральные оси являются осями симметрии элементов), получим

см⁴,

;

;

.

Центральные оси нужно повернуть на 26, 56° для получения главных осей (рис. 5.2.3).

Моменты инерции относительно главных осей

(5.1.9)

Максимальный момент инерции см⁴.

Минимальный момент инерции см⁴.

Из определения осевого момента инерции: сумма произведений элементов площади dA на квадрат расстояния до соответствующей оси, можно заключить к какой оси относится .

соответствует оси, относительно которой больше вытянуто сечение. В условиях рассмотренного сечения см⁴, поскольку .

Все вычисления удобно производить по табл. 5.2.1.

Таблица 5.2.1

№ эл.	Элемент и его располо-жение	А, см2	хс, см	yc, см	Sx, см3	Sy, см3	ai, см	bi, см	Jxi, см4	Jyi, см4	Jxi yi, см4	Jxc, см4	Jyc, см4	Jxc yc, см4
								-1	85, 33	5, 33		101, 33	21, 33	-16
							-2		2, 67	10, 67		34, 67	42, 67	-32
å			-	-			-	-	-	-	-			-48

По результатам суммарной строки

см, см,

, откуда a = 26, 56°,

Рис. 5.2.4

Для составного сечения, состоящего из швеллера № 18, полосы 180´ 10 мм, уголка 125´ 80´ 8, определить положение главных центральных осей и величины моментов инерции относительно главных центральных осей.

Решение

Свяжем с сечением систему координат. Начало координат выберем в центре тяжести полосы. Элементами сечения являются стандартные прокатные профили: 1 – швеллер; 2 – полоса;
3 – неравнобокий уголок. Стандартные размеры и геометрические характеристики элементов:

1) швеллер № 18: ГОСТ 8240-89 h = 180 мм; b = 70 мм;
А ₁ = 20, 7 см²; J_x = 1090 см⁴; J_y = 86, 0 см⁴; z ₀ = 1, 94 см;

2) полоса: h = 18 см; b = 1 см; А ₂ = 18 см²;

3) уголок 12, 5/8: В = 12, 5 см; b = 8 см; d = 0, 8 см; А ₃ = 16 см²;
J_x = 256 см⁴; J_y = 83 см⁴; J_u = 48, 8 см⁴; x ₀ = 1, 84 см;
y ₀ = 4, 05 см; tga = 0, 406.

В выбранной системе координат найдем центры тяжести элементов

1. Швеллер: (см), (см),

центр тяжести швеллера в точке С ₁ (-9, 5 см; -7, 06 см),

центр тяжести полосы в точке С ₂ (0; 0),

координаты центра тяжести уголка:

см, см,

центр тяжести уголка в точке С ₃ (4, 55 см; 7, 16 см).

Координаты центра тяжести составного сечения

(см),

(см).

центр тяжести составного сечения в точке С (-2, 264 см;
-0, 577 см); моменты инерции составного сечения относительно центральных осей найдем суммой моментов инерции элементов.

1. Швеллер , где = 86 см⁴ = J_y (швеллера), поскольку швеллер расположен горизонтально.

а ₁ = -(7, 06 – 0, 577) = -6, 483 см, тогда осевые моменты

86 + (6, 483)² × 20, 7 = 956, 006 см⁴, , где см⁴; b ₁ = - (9, 5 – 2, 264) = -7, 236 см.

см⁴.

Центробежный момент инерции

, где = 0, тогда

см⁴.

2. Полоса.

, где см⁴; а ₂ = 0, 577 см,

см⁴,

, где см⁴; b ₂ = 2, 264 см,

см⁴,

см⁴.

3. Уголок. Осевые моменты инерции:

,

где = = 83 см⁴,

поскольку уголок расположен горизонтально

а ₃ = 7, 16 + 0, 577 = 7, 737 см,

тогда

см⁴,

,

где = = 256 см⁴,

b ₃ = 4, 55 + 2, 264 = 6, 814 см,

тогда

см⁴,

центробежный момент инерции

,

где - центробежный момент инерции уголка относительно собственных центральных осей.

Заданные в таблице сортамента стали уголка оси u, n являются главными, поэтому Ju n = 0. Момент можно определить из соотношения (5.1.7):

,

поскольку J_{u n} = 0: ,

для определения осевого момента инерции J _n, воспользуемся свойством инвариантности суммы осевых моментов инерции относительно поворота осей:

J_u + J _n = J_x + J_y,

откуда

J _n = J_x + J_y - J_u, тогда

,

для уголка 12, 5/8

tga = 0, 406,

тогда

a = arctg(0, 406) = 22, 097°.

Для заданного сечения a = -22, 097, поскольку поворот оси u к оси x ₃ по часовой стрелке

см⁴,

тогда

см⁴.

тогда моменты инерции сечения относительно центральных осей:

см⁴.

см⁴.

см⁴.

При повороте центральных осей на угол, полученный из соотношения (5.1.8), найдем положение главных осей

,

,

следовательно, главные оси заданного составного сечения получаем поворотом центральных осей против часовой стрелки на 39, 282°.

Осевые моменты инерции относительно главных осей (5.1.9)

,

см⁴, см⁴.

Вычислим осевые моменты инерции по соотношениям (5.1.5), (5.1.6)

см⁴,

см⁴.

Вычисления удобнее было вести по табл.5.2.2.

Таблица 5.2.2

№ Эл.	Элемент и его распо-ложение	А, см2	xci, см	yci, см	Sx см3	Sy cм3	аi см	bi см	Jxi см4	Jyi см4	Jxiyi см4	Jxc см4	Jyc см4	Jxcyc см4
	№ 18	20, 7	-9, 5	-7, 06	-146, 142	-196, 65	-6, 483	-7, 236				956, 006	2173, 846	971, 057
	18´ 1						0, 577	2, 264		1, 5		491, 993	93, 762	23, 514
	12, 5/8		4, 55	7, 16	114, 56	72, 8	7, 737	6, 814			84, 128	1040, 779	998, 89	927, 647
å		54, 7			-31, 582	123, 85	-	-	-	-	-	2488, 778	3266, 498	1922, 218

см.

см.