Использование

Возьмем рассуждение «Каждый человек смертен. Конфуций — человек. Следовательно, Конфуций смертен». Обозначим «x есть человек» черезЧЕЛОВЕК(x) и «x смертен» через СМЕРТЕН(x). Тогда утверждение «каждый человек смертен» может быть представлено формулой: x(ЧЕЛОВЕК(x) → СМЕРТЕН(x)) утверждение «Конфуций — человек» формулой ЧЕЛОВЕК(Конфуций), и «Конфуций смертен» формулой СМЕРТЕН(Конфуций). Утверждение в целом теперь может быть записано формулой

( x(ЧЕЛОВЕК (x) → СМЕРТЕН (x)) ЧЕЛОВЕК (Конфуций)) → СМЕРТЕН (Конфуций)

Пример 1 Доказать, что формула общезначима

1) {FA, TB, FC, FA, FB} – замкнутая;

2) {FA, TB, FC, TA} – замкнутая;

3) {FA, TB, FC, TC} – замкнутая;

4) {TA, TA, FA, FC} – замкнутая;

5) {TA, TB, FA, FC} – замкнутая;

6) {FB, TA, FA, FC} – замкнутая;

7) {TC, TA, FA, FC} – замкнутая;

8) {FB, TB, FA, FC} – замкнутая;

9) {TC, TB, FA, FC} – замкнутая.

Все таблицы замкнутые, значит, формула является общезначимой. Если при исследовании формул наобщезначимость, итоговые таблицы этой формулы с индексом F все замкнуты, то она являетсяобщезначимой. Аналогично, если формула исследуется с индексом Т и все итоговые таблицы замкнуты, то она являетсяпротиворечием.В противном случае формула являетсянейтральной.

Пример2 Установить, является ли формула общезначимой.

Выпишем итоговые таблицы:

1){TA, FB, TA, FB} незамкнутая;

2){TA, FB, FA, TB} замкнутая;

3){FB, TA, FB} незамкнутая;

4){TA, TA, FB} незамкнутая;

5){FA, FA, TB} замкнутая;

6){TA, FB, TB} замкнутая.

Среди итоговых таблиц есть незамкнутые, следовательно, формула не является общезначимой.

Если все итоговые таблицы формулы с индексом F-замкнуты, то формула является общезначимой.

См. https://studopedia.ru/3_43929_metod-ravnosilnih-preobrazovaniy.html

https://studbooks.net/29524/logika/proverka_korrektnosti_sillogizma

11. Выразить на языке модальной (временной, эпистемической) логики логическую структуру данного высказывания.

12. Построить модель для указанной формулы (модальной, эпистемической, темпоральной) логики.

13. Привести пример высказывания, которое бы выполнялось в данной модели (модальная, темпоральная, эпистемическая логика).

14. Описать результат информационного обновления.

15. Формализовать решение задачи средствами динамической эпистемической логики (по типу задач о «чумазых детях»).

Билет 1. Предмет логики. Понятия логической формы, логического следования, логического закона. Логика традиционная и математическая.

Логика – это теория правильных рассуждений. Является одной из древнейших наук. Как стройная система знаний она сформировалась в IVв. до н. э. в трудах Аристотеля, объединенных под общим названием «Органон» («орудие» познания). В «Органоне» сформирован каркас логики как науки и сформулированы ее основные проблемы.

Логика исследует логические формы, отвлекаясь от их конкретного содержания, анализирует мышление со стороны его формальной правильности.

Формальная правильность означает соответствие мышления (рассуждения, доказательства) известным фиксированным правилам, соблюдение которых обеспечивает правильность перехода от одних высказываний к другим.

Предметом логики является выводное знание, т. е. знание, полученное из ранее проверенных истин в соответствии с определенными законами. Логику не интересует в каждом отдельном случае истинная характеристика исходного знания. Ее задача заключается в том, чтобы установить, следует ли вывод из определенных посылок с необходимостью либо вероятно.

Другой задачей, вытекающей из уже указанной, является формализация и систематизация правильных способов рассуждений.

Формальная логика представлена сегодня двумя науками - традиционной и математической (символической) логикой.

Традиционная логика - это первая ступень логики выводного знания. Она изучает общечеловеческие формы мысли (понятия, суждения), формы связи мыслей в рассуждении (умозаключения), зафиксированные в системе формально-логических законов (тождества, противоречия, исключенного третьего и достаточного основания).

Математическая логика - вторая после традиционной логики ступень в развитии формальной логики, применяющая математические методы и специальный аппарат символов и исследующая мышление с помощью исчислений (формализованных языков). Большая, чем в традиционной логике, степень абстрагирования и обобщения позволяет современной символической логике познавать новые закономерности мышления, возникающие при решении сложных логических конструкций в математике, кибернетике, при проектировании и в работе электронно-вычислительных машин и управляющих устройств.

С помощью логического аппарата и найденных законов логического следования математическая логика дала возможность по-новому осмыслить законы и правила традиционной логики и решить такие проблемы, которые долгое время оставались нерешёнными. Это относится прежде всего к теории вывода, т. е. к самому существенному в предмете формальной логики.

Логическая форма – это структура мысли или способ связи элементов ее содержания.

Логическое следование – отношение между высказываниями по форме.

Выражения, истинные в силу своей логической формы, называют логически истинными. Отсюда следует понятие логического закона.

Логический закон – это такая логическая форма, которая принимает значение «истина» при любой интерпретации параметров, входящих в ее состав.

Билет 2. Язык как информационная знаковая система. Синтаксис, семантика, прагматика. Принципы построения формализованных логических языков.

Язык – это знаковая система, предназначенная для фиксации, переработки и передачи информации от одного субъекта к другому. Языки подразделяются на естественные и искусственные. Естественные языки возникают как средство общения между людьми, формируются и развиваются в течение длительного времени. Искусственные языки создаются сознательно для решения определенных задач. Это, например, язык химических формул или шахматной нотации.

Ряд языков используется не только для передачи, но и для хранения информации. Это свойство присуще устным и письменным вариантам национальных языков, а также языкам науки, специально созданным для решения познавательных задач. Ими обычно являются фрагменты естественных языков, обогащенные терминологией. Любая научная дисциплина создает свой собственный язык.

Особой разновидностью научных языков являются формализованные языки с точно заданными правилами образования выражений и преобразования одних выражений в другие. Это языки математических, физических теорий.

Формализованный язык логики – искусственный язык логики, предназначенный для воспроизведения логических форм контекстов естественного языка, а также выражения логических законов и способов правильных рассуждений в логических теориях, строящихся в данном языке.

Построение формализованного языка начинается с задания его алфавита – совокупности исходных, примитивных символов. В алфавит включаются логические символы (знаки логических операций и отношений, напр., пропозициональные связки и кванторы), нелогические символы (параметры дескриптивных составляющих естественного языка) и технические символы (напр., скобки). Затем формулируются так называемые правила образования сложных знаков языка из простых – задаются различные типы правильно построенных выражений. Наиболее важным их видом являются формулы – аналоги высказываний естественного языка.

Отличительной особенностью формализованного языка является эффективность определений всех его синтаксических категорий: вопрос о принадлежности произвольного символа или последовательности символов алфавита к тому или иному классу языковых выражений решается алгоритмически, в конечное число шагов.

Иногда в состав формализованных языков наряду с алфавитом и правилами образования включают так называемые правила преобразования – процедуры дедукции, точные правила переходов от одних последовательностей символов к другим. В этом случае формализованный язык, по существу, отождествляется с логическим исчислением. Другая трактовка формализованного языка предполагает принятие правил интерпретации его выражений, позволяющих каждой синтаксической категории знаков сопоставить семантическую, что существенно для выявления логических форм.

Формализованные языки могут обладать различными выразительными возможностями. Так, пропозициональные языки позволяют исследовать логическую форму лишь на уровне сложных высказываний, без учета внутренней структуры простых высказываний. Языки силлогистики позволяют фиксировать логические формы атрибутивных высказываний. Первопорядковые языки воспроизводят структуру как простых (и атрибутивных, и реляционных), так и сложных высказываний, но в них разрешается квантификация только по индивидам. В более богатых языках – языках высших порядков – допускается квантификация также по свойствам, отношениям и функциям.

Принципы построения формализованных языков могут быть использованы и при задании языков нелогических, прикладных теорий. В этом случае в алфавит языка вместо абстрактных нелогических символов (параметров) вводятся имена конкретных объектов предметной области теории, знаки определенных функций, свойств, отношений и т.п.

Изучение любого языка осуществляется в трех аспектах: синтаксическом, семантическом и прагматическом. Это вытекает из определения знака и связано с абстрагированием от тех или иных компонентов знаковой ситуации при исследовании языка:

Знаком называется тот объект, который (в нормативном случае его употребления) для некоторого интерпретатора (субъекта) выступает в качестве представителя какого-либо другого предмета.

Синтаксис интересуется поведением знаков в составе языка как некоторых материальных объектов, отвлекается от наличия интерпретатора и от того, что знак обозначает. Исследуются отношения знаков друг к другу: способы их комбинирования, образования из них языковых конструкций, преобразования одних знаковых комбинаций в другие.

Семантика исследует отношения между знаками и обозначаемыми объектами, т. е. знаки и смыслы знаков. Выделяются различные категории знаков в зависимости от типов их значений, а также от типов выражаемых этими знаками смыслов.

Прагматический анализ языка состоит в исследовании отношений между знаками и интерпретаторами, использующими эти знаки. При таком подходе решается важная задача – установление зависимости значения и смысла знака от тех или иных особенностей интерпретатора и внеязыкового контекста, сопутствующего употреблению данного знака.

Билет 3. Традиционная силлогистика: способ анализа и условия истинности простых категорических суждений. Распределенность терминов в простых категорических суждениях. Традиционная силлогистика и логика предикатов.

Силлогистика – это первая теория рассуждений, созданная Аристотелем. Является аксиоматической.
Силлогистика – это теория выводов из простых категорических суждений.

Традиционная силлогистика рассматривает единичное по аналогии с общим; позитивная не рассматривает внутреннюю структуру субъекта и предиката; немодальная – не рассматривает модальности.

Суждение (высказывание или пропозиция) – утверждение или отрицание чего-либо; как правило – осмысленное повествовательное предложение.

Простые категорические суждения:

1. Атрибутивные (о свойствах)

2. Реляционные (об отношениях)

3. Экзистенциальные (о существовании)

Термин, входящий в состав категорического атрибутивного высказывания, распределен в нем, если и только если в каждой модельной схеме, которая является условием истинности высказываний этого типа, класс предметов, обозначенный данным термином, полностью затенен или полностью не затенен. В противном случае говорят, что термин нераспределен.

Субъекты всегда распределены в общих и нераспределены в частных высказываниях, предикаты всегда распределены в отрицательных и нераспределены в утвердительных высказываниях. Термины в единичных высказываниях распределены точно так же, как они распределны в соответствующих общих высказываниях.

Простой кaтeгopичecкий cиллoгизм (cиллoгизм) - этo дeдyктивнoe yмoзaключeниe, в кoтopoм из двyx кaтeгopичecкиx выcкaзывaний вывoдитcя нoвoe кaтeгopичecкoe выcкaзывaниe.

В кaждoм cиллoгизмe дoлжнo быть тpи тepминa: меньший, больший и cpeдний.

· Mеньшим mepмuнoм нaзывaeтcя cyбъeкт зaключeния («вoдa»S).

· Больший - пpeдикaт зaключeния («yпpyгa»P).

· Tepмин, пpиcyтcтвyющий в пocылкax, нo oтcyтcтвyющий в зaключeнии - средний («жидкость»M).

Если в одном суждении встречается хотя бы один термин, не входящий в другое суждение, то такие два суждения несравнимы. Суждения сравнимы, если их термины совпадают.

Сравнимые суждения совместимы, если они могут быть одновременно истинны, и несовместимы, если не могут быть вместе истинными.

В свою очередь, отношения совместимости делятся на отношения

· подчинения (субординации) и субконтрарности,

А отношения несовместимости – на отношения противоположности

· (контрарности) и противоречия (контрадикторности)

Наглядно и системно эти отношения представлены в логическом квадрате.

Подчинение (субординация). Частные суждения подчиняются общим. Это значит:

а) Истинность подчиняющего общего суждения влечёт истинность подчинённого частного, но не наоборот.

б) Ложность подчинённого суждения влечёт ложность подчиняющего, но не наоборот.

Субконтрарность. Отношение двух частных суждений (I) и (О) состоит в том, что они могут быть оба истинны, но не могут быть оба ложны. Субконтрарность означает:

а) Если одно из субконтрарных суждений ложно, то другое необходимо истинно.

б) Из истинности одного из субконтрарных суждений следует неопределённость истинности другого.

Противоположность (контрарность). Отношение общих суждений (А) и (Е) состоит в том, что они не могут быть одновременно истинными, но бывают оба ложны.

а) Из истинности одного суждения следует ложность другого.

б) Из ложности одного суждения следует неопределённость относительно истинности другого.

Противоречие (контрадикторность). Отношение пар суждений (А) – (О) и (Е) – (I) подчиняется закону исключённого третьего, т.е. истинность одного из них влечёт необходимо ложность другого, и наоборот, ложность одного – истинность другого.

Сложные суждения – суждения, состоящие из двух и более простых суждений, соединённых логическими постоянными (союзами).

Логические константы (союзы) определяют виды сложных суждений и обозначаются специальными символами:

- конъюнкция " и " (^) образует соединительное суждение (а ^ b);

- дизъюнкция " или " (v) образует разделительное суждение (а v b);

- импликация " если..., то " () образует условное суждение (а b);

- эквиваленция " тогда и только тогда, когда " - сокращённая запись ;

- отрицание " неверно, что " образует отрицательное сложное суждение (ā) или (a).

Логика предикатов – это логическая теория, язык которой позволяет анализировать высказывания и умозаключения с учетом внутренней структуры простых высказываний. При анализе предикатов выделяют три основных типа нелогических терминов: имена, предметные функторы и предикаторы.