Все посылки в восстановленном правильном модусе оказываются истинными утверждениями.

Билет 7. Язык классической логики высказываний. Табличное построение классической логики высказываний. Сокращенные таблицы истинности.

Логика высказываний (пропозициональная логика) – это логическая теория, язык которой содержит один тип нелогических символов – пропозициональные переменные, а также один тип логических символов – пропозициональные связки.

Классическая логика высказываний является наиболее простой логической теорией. Она абстрагируется от содержаний простых высказываний и их внутренней структуры, а учитываются лишь связки между ними и порядок их сочленения в сложные. Особенности ее языка определяют специфику ее законов и то, в каких случаях из множества формул логически следует некоторая формула.

Законами классической пропозициональной логики являются формы высказываний, логическая истинность которых обусловлена логическими свойствами содержащихся в них пропозициональных связок.

Зададим алфавит классической логики высказывания.

• Множество нелогических символов составляет бесконечный список пропозициональных переменных: p, q, r, s, p1, q1, r1, s1, p2…
• Логические символы данного языка: ~, &, V, ->
• Технические символы: ()

Построение алфавита завершено.
Выражением языка классической логики буем называть любую последовательность знаков его алфавита. Они могут быть правильным и неправильными. В языке пропозициональной логики имеется только один тип правильно построенных выражений – формулы. Формула, входящая в состав некоторой формулы, называется ее подформулой. В сложной формуле всегда можно выделить связку, которая называется ее главным знаком.
Так же, если встречается высказывание «ни…, ни….», то мы используем знак Нико (стрелка вниз).
Например, «Ни А, ни В»: (~A & ~B), (A *стрелка вниз* В).

Задав язык классической логики высказываний, приступим к построению в его рамках самой логической теории – классической логики высказывания; мы будем использовать метод таблиц истинности.

1. Придать значение пропозициональной связке – означает соспоставить ей опредленную функцию истинности.

Формула А& B – истинно, если оба высказывании А и В – истинны;
АvВ – истинно, если хотя бы одно из высказывание А или В – истинно.
А -> B – ложно, если А – истинно, а В – ложно.

Билет 8. Выполнимость, тождественная истинность и тождественная ложность высказываний. Логическая, аналитическая и априорная истинность.

Используя метод построения таблиц истинности, можно решать вопрос о том, является ли какая-либо формула языка классической пропозициональной логики законом этой теории.

Законом классической логики высказываний является формула, принимающая значение истины при любых наборах значений входящих в нее пропозициональных переменных. Формулы данного типа называются тождественно-истинными или общезначимыми. В результирующем столбце таблицы в каждой строке получаем истину. Пример: ~(p& q)-> (~pv~q)

Выделяют еще три класса формул:

· Формула называется тождественно-ложной, если и только если она принимает значение «ложь» при любых наборах значений входящих в нее пропозициональных переменных. (p-> ~q)& (~p-> p)

· Формула выполнима тогда и только тогда, когда она принимает значение «истина» по крайней мере при одном наборе значений входящих в нее пропозициональных переменных. К ним относятся все общезначимые формулы.

· Формула опровержима, если и только если она принимает значение ложь по крайней мере при одном наборе значений входящих в нее пропозициональных переменных. К ним относятся все тождественно-ложные формулы.

Истинность многих положений математики и логики напрямую связана с принятыми соглашениями об употреблении терминов (конвенциями). Они позволяют устанавливать истинность предложений априорно, т. е. не обращаясь к эмпирическому опыту. Для логики высказываний процедурой установления априорной истинности является построение таблиц истинности. К предложениям указанного типа могут применять иную терминологию. Например, их называют аналитически истинными (для предложений логики говорят об их логической истинности).
* Для знаков, которые не входят в число исходных пропозициональных связок языка можно построить таблицы истинности, зная, что эквиваленция – (А> B) & (B> A); строгой дизъюнкция (A& ~B)v(~A& B); «ни, ни» ~A& ~B;

Билет 9. Способы установления отношений между высказываниями и проверка правильности рассуждений по истинностным таблицам.

Логические отношения между высказываниями бывают фундаментальными и производными.

· Фундаментальные отношения:

1. Совместимость по истинности:
Формулы множества Г называются совместимыми по истинности в некоторой логической теории Т, если и только если в Т существует интерпретация нелогических символов, входящих в указанные формулы, при которой каждая формула, входящая в Г, принимает значение истины. В противном случае эти формулы несовместимы по истинности.

2. Совместимость по ложности:
Формулы из множества Г называются совместимыми по ложности в теореме Т, если и только если в Т существует интерпретация нелогических символов, входящих в указанные формулы, при которой каждая формула из Г принимает значение «ложь». В противном случае эти формулы несовместимы по ложности.

3. Логическое следование:
Из множества формул Г логически следует формула B в некоторой логической теории Т, если и только если в Т не существует интерпретации нелогических символов, входящих в Г и В, при которой каждая формула из Г принимает значение «истина», а формула В – значение «ложь». В противном случае формула В не следует из Г.

Практически эти отношения можно установить с помощью таблиц истинности. Необходимо построить для этих формул совместную таблицу истинности и проверить на ней отношения между формулами.

Алгоритм построения:

1. Выделяют различные пропозициональные переменные, которые входят в состав формул.

2. Задают все возможные наборы их значений.

3. Вычисляют значения каждой из формул на каждом из заданных наборов.

После этого приступают к установлению логических отношений между ними: