Простейшие теоремы теории вероятностей

Две теоремы, приведенные ниже, доказываются для событий, сводящихся к схеме случаев. Если события не сводятся к схеме случаев, то утверждения теорем постулируются.

Определение: Суммой С = А + В двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В.

Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т. е.

Р (А+В) =Р (А) +Р (В).

Доказательство проведем для событий, составляющих схему случаев.

Пусть возможные исходы опыта сводятся к совокупности случаев, которые мы для наглядности изобразим в виде n точек.

Предположим, что из n случаев m благоприятны событию А, а k – событию В. Тогда

, .

Так как события А и В несовместны по условию теоремы, то нет таких случаев, которые благоприятны и А, и В вместе. Следовательно, событию А + В благоприятны m + k случаев и

.

Подставляя (А4) и (А5) в (АЗ), получим тождество, что доказывает теорему.

Теорему сложения вероятностей, доказанную для двух событий, легко по индукции распространить на любое число несовместных событий:

P (A ₁ + А ₂ +... + А_n) = Р (А ₁)+ Р (А ₂)+...+ Р (А_n)

или

.

С л е д с т в и е 1. Если события А ₁,..., А_n образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как событие А ₁,..., А_n образуют полную группу, то появление в опыте хотя бы одного из них достоверное событие

P (A ₁ + А ₂ +... + А_n) = 1.

Так как А ₁,..., А_n по условию несовместны, то к ним применима теорема сложения вероятностей:

P (A ₁ + А ₂ +... + А_n) = Р (А ₁) + Р (А ₂) +...+ Р (А_n) = .

Из (А8) и (А9) следует, что

О п р е д е л е н и е. Противоположными событиями и называют два несовместных события, образующих полную группу.

Сумма вероятностей противоположных событий на основании следствия 1, очевидно, равна единице, т. е.

.

О п р е д е л е н и е. Событие А называют независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того произошло событие В или нет, т. е.

Р (А / В) = Р (А).

В выражении (А11) Р (А / В) – есть вероятность события А при условии, что событие В имело место. Говорят, что Р (А / В) условная вероятность события А.

Пример: Пусть в урне имеется 3 белых и два черных шара. Два лица вынимают из урны по одному шару. Рассмотрим два события:

А – появление белого шара у 1-го лица;

В – появление белого шара у 2-го лица.

Вероятность события А до того, как известно что-либо о событии В, равна 3/5. Если стало известно, что событие В произошло, то вероятность события А становится равной 1/2, из чего заключаем, что событие А зависит от события В.

О п р е д е л е н и е. Произведением двух событий А и В называется событие, состоящее в совместном (или одновременном) появлении этих двух событий.

Теорема 2. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие имело место:

Р (А, В) = Р (А) Р (В / А).

Докажем теорему 2 для событий, сводящихся к схеме случаев. Пусть возможные исходы опыта сводятся к n случаям, которые изобразим в виде точек

Предположим, что событию А благоприятны m случаев, а событию В благоприятны k случаев. Так как по условию теоремы не предполагается, что события А и В несовместны, то, вообще говоря, существуют случаи, благоприятные и событию А, и событию В одновременно. Пусть число таких случаев l. Тогда

.

Вычислим Р (В / А), т. е. условную вероятность события B в предположении, что А имело место. Если известно, что событие А произошло, то из ранее возможных n случаев остаются возможными только те m случаев, которые благоприятствовали событию А. Из них l случаев благоприятны событию В. Поэтому

.

Подставляя (А13) и (А14) в (А12) получим тождество. Теорема доказана.

С л е д с т в и е 1. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Следствие 1 непосредственно вытекает из определения независимости событий Р (В/А) = Р (В) и теоремы 2.

3. Интегральная функция распределения случайной величины

О п р е д е л е н и е. Случайной величиной Х называют величину, которая в результате опыта принимает то или иное значение, заранее неизвестно какое.

О п р е д е л е н и е. Интегральной функцией распределения Ф (х) называется вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньшее х, т. е.

.

Докажем некоторые свойства функцииФ(x).

1. Функция Ф(х) – неубывающая функция своего аргумента, т. е. если х ₂ > х ₁, то .

Для доказательства свойства 1 разобьем интервал () на два несовместных (не имеющих общих точек): () и [ ). Тогда по теореме сложения несовместных событий

т. к. .

2. .

3. .

Последние два свойства очевидны.

4. Вероятность того, что случайная величина Х примет значение на интервале от до , равна приращению функции на этом интервале,

т. е.

Для доказательства разобьем интервал () на два несовместных интервала: () и (). Тогда по теореме сложения

или

.

Из последнего равенства непосредственно следует четвертое свойство.

5. .