![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Дисперсия и ее свойства
Для характеристики рассеивания возможных значений случайной величины около ее среднего значения вводится дисперсия, которая представляет собой среднюю квадратическую разность между значениями случайной величины и ее средним значением, т. е.
По определению среднего для дискретных случайных величин
где введено обозначение
Следует отметить, что в качестве меры рассеивания не может быть взята величина
Формулу (А.38) можно преобразовать к виду иногда более удобному для использования. Для этого возведем в квадрат величину, стоящую в угловых скобках (А.38) и воспользуемся основными свойствами среднего значения.
Таким образом, дисперсия случайной величины X равна среднему квадрату этой величины минус квадрат ее среднего. Для характеристики рассеивания более целесообразно взять величину, которая имеет размерность самой случайной величины, а не ее квадрата. Поэтому в рассмотрение вводят среднее квадратическое отклонение s x, которое равно корню квадратному из дисперсии:
Перейдем к доказательству основных свойств дисперсии. 1. Дисперсия постоянной величины c = constравна нулю.
2. Неслучайная величина c = constвыносится из-под знака дисперсии в квадрате:
По определению дисперсии
Аналогичное свойство получаем для среднего квадратичного отклонения:
3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:
По определению так как на основании выражения (A.37) среднее значение от произведения независимых величин Формулу (A.45) легко с помощью метода индукции распространить на большее число суммируемых независимых случайных величин:
Подчеркнем, что формулы (A.45) и (A.46) имеют место только для независимых величин.
|