Плотность вероятности

По определению производной интегральной функции распределения

.

В числителе правой части последнего выражения стоит вероятность, что случайная величина примет значение на интервале Δ х, лежащем возле точки х. Ясно, что эта вероятность зависит от того, где взять эту точку х, т. е.

.

Если эту величину разделить на Δ х и устремить Δ х к нулю, то получим плотность вероятности (по аналогии линейной плотности массы, “размазанной” по оси х) случайной величины Х в точке х. Таким образом, если обозначить плотность вероятности ω (х), то из (А19)

.

Отметим некоторые полезные свойства плотности вероятности ω (х).

1.

Это свойство сразу же следует из первого свойства интегральной функции распределения Ф(х) и выражения (А20).

2. .

Для доказательства, найдём из (А20) Ф(х).

Положив в (А21) и учтя, что , получим второе свойство.

3. Чтобы найти вероятность принять случайной величине значение из интервала (, β), необходимо проинтегрировать плотность ω (х) на этом интервале, т. е.

.

Для доказательства воспользуемся четвертым свойством функции Ф (х) и выражением (A21):

.

Что и требовалось доказать. Из (А.22) следует, что вероятность принять случайной величине Х значение из бесконечно малого интервала

.