Неравенство Чебышева

Если случайная величина X имеет среднее значение m _x и конечную дисперсию D_x, то неравенство Чебышева утверждает: каково бы ни было наперед заданное положительное число e, вероятность того, что случайная величина X отклонится от своего среднего не меньше, чем на e, ограничена сверху величиной D_x, /e ²:

. (A.47)

Доказательство неравенства (A.47) проведем для непрерывной слу­чайной величины X, заданной на бесконечном интервале (-¥, +¥) с плотностью вероятности w (x). По формуле (A.39)

.

Так как w (x) ³ 0, то подынтегральная функция в последнем выражении положительна. Поэтому, если распространить интегрирование только на те значения x, которые удовлетворяют неравенству , то интеграл от этого только уменьшится:

. (A.48)

Интеграл (A.48) еще уменьшится, если, в соответствии с неравенством , величину заменить величиной e²:

.

Последний интеграл, на основании (A.22), представляет собой вероят­ность выполнения неравенства , т. е.

.

Таким образом,

.

Откуда следует неравенство Чебышева (A.47).

Из неравенства Чебышева следует, что вероятность отклониться значению случайной величины от ее среднего на величину большую не может быть больше 1/9, т. е.

.

Последнее неравенство, очевидно, имеет место для любых законов распределения w(x). Фактически для всех используемых на практике плотностей вероятностей w(x) непосредственный расчет вероятности дает значение значительно меньшее 1/9. Поэтому, если для некоторой случайной величины известно и m_x, то с высокой уверенностью можно утверждать, что эта случайная вели­чина будет крайне редко принимать значения вне интервала .