Теорема Бернулли

Теорема Бернулли формулируется следующим образом: Если m/n - частота наступления события A при n незави­симых испытаниях, а р - вероятность этого события в каждом испы­тании, то как бы малы ни были заданные положительные числа e и d, выбирая достаточно большое n можно выполнить неравенство

(A.59)

Доказательство.

Введем случайную величину X_i - число наступлений события A в i -м опыте. Она может принимать два значения: 1 и 0 с вероятностями (A) = р и P () = 1– р º q, соответственно, т. е.

(A.60)

Среднее значение этой величины

. (A.61)

В серии из n опытов частота события A

, (A.62)

где (A.63) представляет собой число появлений события A в n опытах. Найдем среднее значение и дисперсию величины X (см. (А.31), (А.36), (А.39а)).

. (A.64)

(A.65)

Применим неравенство Чебышева (A.47) к случайной величине

X = m/n.

. (A.66)

Подставив выражения (A.64) и (A.65) в неравенство (A.66), получим

(A.67)

Дальнейшие рассуждения, приводящие к неравенству (A.59), осуществляются совершенно аналогично переходу от (A.54) к (A.58), проведенному при доказательстве теоремы Чебышева.

Важность доказанной теоремы Бернулли состоит в том, что нахожде­ние вероятностей событий, теоретический расчет которых затруднен или практически неосуществим, возможно опытным путем.