Теорема Чебышева

Пусть имеется случайная величина X со средним значением m_x и конечной дисперсией D_x. Теорема Чебышева утверждает, что при неограниченном увеличении числа независимых опытов среднее арифмети­ческое наблюдаемых значений x_i сходится по вероятности к ее сред­нему значению m_x, т. е.

, (A.49)

где e, d - как угодно малые заданные положительные числа.

Иными словами, теорема утверждает, что достаточно большим выбором числа независимых опытов n можно добиться того, что сред­нее арифметическое наблюдаемых значений с вероятностью почти равной единице (достоверно) будет равняться среднему значению случайной величины.

Для доказательства введем в рассмотрение случайную величину Y, равную среднему арифметическому наблюдаемых значений X_i, получен­ному по конечному числу независимых опытов, т. е.

. (A.50)

Наблюдаемые в опыте x_i можно, очевидно, рассматривать как незави­симые случайные величины X_i с одним и тем же законом распределения. Поэтому средние значения у них одинаковы и равны m_x. Дисперсии тоже одинаковы и равны D_x.

Пользуясь основными свойствами среднего и дисперсии, найдем среднее значение и дисперсию случайной величины Y.

. (A.51)

. (A.52)

Из последних соотношений видно, что независимо от числа опытов, среднее значение Y равно среднему значению величины X, а дисперсия Y при увеличении числа опытов стремится к нулю. Из этого следует (на основании первого свойства дисперсии), что среднее арифметическое Y при достаточно большом числе опытов перестает быть случайной величиной, стремясь к постоянной m_x дисперсия которой равна нулю.

В неравенство Чебышева

, (A.53)

записанного для случайной величины Y, подставим соответствующие
значения из выражений (A.50)–(A.52). В результате получим

. (A.54)

При конечной дисперсии D_x, как бы малы ни были заранее заданные положительные числа e и d, выбором достаточно большого числа опытов n можно правую часть неравенства (A.54) сделать меньше d, т. е.

. (A.55)

Введем в рассмотрение два противоположных события A и , т. е. два несовместных события, образующих полную группу, для которых

P (A) + P () = 1, (A.56)

Событие A заключается в том, что при n опытах величина оказалась больше или равной e, а событие – та же величина приняла значение строго меньше e.

Тогда выражение (A.56) можно переписать в виде

. (A.57)

Подставив выражение (A.57) в (A.55), получим

(A.58)

что и доказывает теорему Чебышева.