![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Теорема Чебышева
Пусть имеется случайная величина X со средним значением mx и конечной дисперсией Dx. Теорема Чебышева утверждает, что при неограниченном увеличении числа независимых опытов среднее арифметическое наблюдаемых значений xi сходится по вероятности к ее среднему значению mx, т. е.
где e, d - как угодно малые заданные положительные числа. Иными словами, теорема утверждает, что достаточно большим выбором числа независимых опытов n можно добиться того, что среднее арифметическое наблюдаемых значений с вероятностью почти равной единице (достоверно) будет равняться среднему значению случайной величины. Для доказательства введем в рассмотрение случайную величину Y, равную среднему арифметическому наблюдаемых значений Xi, полученному по конечному числу независимых опытов, т. е.
Наблюдаемые в опыте xi можно, очевидно, рассматривать как независимые случайные величины Xi с одним и тем же законом распределения. Поэтому средние значения Пользуясь основными свойствами среднего и дисперсии, найдем среднее значение и дисперсию случайной величины Y.
Из последних соотношений видно, что независимо от числа опытов, среднее значение Y равно среднему значению величины X, а дисперсия Y при увеличении числа опытов стремится к нулю. Из этого следует (на основании первого свойства дисперсии), что среднее арифметическое Y при достаточно большом числе опытов перестает быть случайной величиной, стремясь к постоянной mx дисперсия которой равна нулю. В неравенство Чебышева
записанного для случайной величины Y, подставим соответствующие
При конечной дисперсии Dx, как бы малы ни были заранее заданные положительные числа e и d, выбором достаточно большого числа опытов n можно правую часть неравенства (A.54) сделать меньше d, т. е.
Введем в рассмотрение два противоположных события A и P (A) + P ( Событие A заключается в том, что при n опытах величина Тогда выражение (A.56) можно переписать в виде
Подставив выражение (A.57) в (A.55), получим
что и доказывает теорему Чебышева.
|